14.2. Спецификация модели и проблема идентифицируемости

14.2.1. Идентифицируемость приведенной формы.

Мы будем рассматривать модель, описываемую системой одновременных уравнений, имеющих структурную форму вида

где матрица В порядка невырождена. Для простоты будем считать, вообще говоря, стохастические переменные экзогенными.

Спецификация модели помимо списка эндогенных и экзогенных переменных включает в себя априорную информацию: ограничения на коэффициенты и гипотезу о случайных возмущениях , а также правило нормализации.

Типичным примером априорных ограничений являются исключающие ограничения, выражающие то, что некоторые переменные заведомо не входят в отдельные уравнения и, следовательно, соответствующие им коэффициенты равны нулю.

В качестве гипотезы о случайных возмущениях примем, что случайные величины независимы и имеют один и тот же закон распределения с нулевым средним.

Предположим, что уравнение может быть разрешено относительно и масштабы коэффициентов выбраны так, что коэффициент при уравнении равен единице.

Это и есть правило нормализации.

В рамках данной спецификации фиксируем какую-либо структуру , т. е. матрицы В, Г и распределение случайного возмущения (параметрами структуры будут элементы матриц В, Г и само распределение ). Тогда вектор при заданном будет иметь некоторое распределение . Поскольку далее фиксировано, мы будем употреблять для этого распределения более короткое обозначение

Структуры называются (наблюдаемо) эквивалентными, если

Параметр а называется идентифицируемым в структуре , если для любой структуры S, эквивалентной . Иными словами, параметр а идентифицируем, если из равенств

, следует, что

Структура S называется идентифицируемой, если все ее параметры идентифицируемы.

Рассмотрим вопрос об идентифицируемости приведенной формы

(14.10)

связанной со структурной формой соотношениями

Предложение 1. Пусть — числу экзогенных переменных. Тогда структура приведенной формы (14.10) является идентифицируемой.

Доказательство. Пусть — две эквивалентные структуры, т. е. . Наряду с (14.10) имеем, что где случайные векторы подчиняются распределению По предположению

Поскольку имеют нулевые математические ожидания, то . Введем матрицу X, столбцами которой являются К линейно независимых векторов

Тогда и, значит, в силу невырожденности

Наконец, имеет место и равенство распределений поскольку а распределения случайных векторов совпадают.

14.2.2. Проблема идентифицируемости для структурной фopмы.

Пусть где .

Предложение 2. Пусть Структуры S и S эквивалентны тогда и только тогда, когда существует невырожденная G X G матрица D, такая, что и распределение совпадает с распределением

Доказательство. Пусть матрица D с указанными свойствами существует; — приведенные формы, отвечающие структурам S и S. Поскольку то

Распределения случайных векторов также совпадают:

Следовательно, совпадают и распределения векторов .

Обратно, пусть — эквивалентные структуры. Положим . Тогда . Согласно предложению 1 из совпадения распределений при всех вытекает совпадение матриц и распределений

Но равенство — влечет равенство . В свою очередь соотношение означает, что откуда вытекает требуемое свойство:

Далее мы будем предполагать выполненным условие предложений 1 и 2 об отсутствии мультиколлинеарности у экзогенных переменных:

Предложение 1 показывает, что весь класс эквивалентных структур обладает одной и той же приведенной формой. Из этого следует, что коэффициент матрицы будет идентифицируемым, если априорные ограничения обеспечивают однозначность его восстановления по матрице приведенной формы.

Для решения проблемы идентифицируемости можно воспользоваться и предложением 2, из которого следует, что множество матриц структурных коэффициентов во всех структурах, эквивалентных данной структуре S, получается умножением А слева на невырожденные матрицы из некоторого класca , который определяется априорными ограничениями.

Интересующий нас коэффициент будет идентифицируем тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно преобразований структурной формы матрицами из М.

14.2.3. Критерии идентифицируемости.

Рассмотрим некоторые наиболее важные типы ограничений и приведем критерии идентифицируемости, используемые в практических задачах.

Будем предполагать, что априорные ограничения являются линейными однородными функциями, каждая из которых зависит только от коэффициентов одного из уравнений структурной формы. Выясним, когда коэффициенты матрицы А могут быть однозначно восстановлены по матрице приведенной формы П.

Пусть — единичная матрица порядка . Введем обозначение

Соотношение ВП между структурной и приведенной формой теперь может быть записано в виде

где А — матрица порядка — матрица порядка , имеющая ранг

Пусть — первая строка матрицы А. Тогда из (14.11) следует, что

(14.12)

Равенство (14.12) представляет собой систему из К (независимых) уравнений относительно неизвестных — элементов вектора

Согласно предположению априорные ограничения на элементы могут быть записаны в виде

(14.13)

где Ф — матрица из строк, имеющая столько столбцов, сколько ограничений.

Например, пусть априори известно, что коэффициент Тогда один из столбцов матрицы Ф имеет вид .

Из (14.12) и (14.13) следует, что элементы вектора являются решениями системы уравнений

(14.14)

В силу правила нормализации для идентифицируемости первого уравнения необходимо и достаточно, чтобы пространство решений системы (14.14) было одномерным, т. е.

(14.15)

Пусть L — число ограничений. Тогда содержит столбцов и для выполнения (14.15) необходимо, чтобы :

для идентифицируемости какого-либо из уравнений необходимо, чтобы число ограничений было не меньше числа уравнений модели, уменьшенного на единицу.

Если имеются только исключающие ограничения, т. е. априорная информация о равенстве нулю некоторых коэффициентов, то необходимое условие идентифицируемости определенного уравнения таково:

число неизвестных, исключенных из уравнения, должно быть по меньшей мере равно числу уравнений минус единица. Последнее условие может быть сформулировано следующим образом:

число исключенных из уравнения экзогенных переменных должно быть не меньше числа участвующих в нем эндогенных переменных, уменьшенного на единицу.

Сформулированные необходимые условия (так называемые правила порядка) в силу своей простоты являются весьма полезными при решении проблемы идентифицируемости, поскольку при построении модели они позволяют сразу выявить неидентифицируемые уравнения. Однако эти условия могут оказаться далекими от достаточных. Необходимое и достаточное условие (14.15) не годится для проверки идентифицируемости модели, поскольку требует построения матрицы П. Тем не менее из него можно извлечь критерий идентифицируемости и в терминах структурной формы (правило ранга).

Первое уравнение системы идентифицируемо тогда и только тогда, когда . Это утверждение может быть выведено непосредственно из (14.15), но мы получим его из соображений, связанных с инвариантностью коэффициентов при умножении структурной формы на допустимые матрицы.

Запишем (14.9) в виде

(14.16)

где

Применяя к (14.16) невырожденную -матрицу D, получим преобразованную структурную форму

Матрица D допустима, если преобразованная структурная форма удовлетворяет априорным ограничениям, которые могут быть записаны в виде или, эквивалентно,

где — вектор длины G. Первая строка преобразованной структурной формы имеет вид где — первая строка матрицы D. Поэтому

(14.17)

Идентифицируемость первого уравнения структурной формы означает, что . В частности, . Так как матрица невырождена, то . Таким образом (с учетом правила нормализации), вектор-строка из (14.17) определяется однозначно; с точностью до пропорциональности решение (14.17) есть Следовательно, . В свою очередь это равенство влечет идентифицируемость первого уравнения. Проиллюстрируем полученные выводы примерами.

Пусть имеется следующая система, состоящая из двух уравнений:

В силу соглашения о правиле нормализации

Пример 14.3. Предположим, что априорные ограничения касаются только коэффициентов матрицы Отметим, что именно эти ограничения имеются в модели спроса и предложения (пример 14.1).

Для первого уравнения системы . Ранг АФ равен и, следовательно, первое уравнение идентифицируемо (здесь ). То же самое имеет место и для второго уравнения.

Пример 14.4. Пусть .

Для первого уравнения и При условии, что , мы имеем . Следовательно, первое уравнение идентифицируемо; аналогичный вывод можно сделать и для другого уравнения.

Решая уравнение которое в данном случае имеет вид

и, пользуясь равенством получаем однозначное выражение параметров первого уравнения через параметры приведенной формы.

Пример 14.5. Пусть

Для первого уравнения

Следовательно, в предположении , и первое уравнение идентифицируемо. Записывая подробно уравнение получаем систему

откуда

Таким образом, для того, чтобы не возникло противоречие, должно выполняться определенное соотношение между коэффициентами приведенной формы. Встретившаяся ситуация, когда имеются ограничения на коэффициенты приведенной формы, носит название сверхидентифицируемости.

Если мы будем оценивать коэффициенты матрицы приведенной формы без учета ограничений, а затем из полученных оценок образуем оценку для (т. е. применим так называемый косвенный метод наименьших квадратов), то выражения не будут равны друг другу. Косвенный метод наименьших квадратов непригоден для оценивания в случае сверхидентифицируемости.

При рассмотрении проблемы идентифицируемости мы ограничились случаем, когда имеются априорные ограничения только на структурные коэффициенты. Ясно, что ограничения на вид распределения случайных возмущений могут сузить класс М допустимых преобразований так, что неидентифицируемое без этих ограничений уравнение станет идентифицируемым.