Главная > Прикладная статистика: Исследование зависимостей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

13.5. Ковариационный анализ (КА) и проблема статистического исследования смесей многомерных распределений

13.5.1. Определение и модель ковариационного анализа.

Следуя [6], определим ковариационный анализ (КА) как совокупность методов и результатов, относящихся к математико-статистическому анализу моделей, предназначенных для исследования зависимости среднего значения некоторого количественного результирующего показателя у от набора неколичественных факторов и одновременно от набора количественных (регрессионных или сопутствующих) переменных X. Результирующий признак у может быть векторным (тогда говорят о многомерном ковариационном анализе).

Неколичественные факторы задают сочетания условий (качественной природы), в которых производилась фиксация каждого из наблюдений (экспериментальных значений) у и X, и описываются обычно с помощью так называемых индикаторных переменных.

Среди индикаторных и сопутствующих переменных могут быть как случайные, так и не случайные (контролируемые в эксперименте).

Основные теоретические и прикладные разработки по КА относятся к линейным моделям. В частности, если анализируется схема из наблюдений со скалярным результирующим признаком у, с k возможными типами условий эксперимента и с сопутствующими переменными то линейная модель соответствующего КА задается уравнениями:

(13.28)

где индикаторные переменные если условие эксперимента имело место при наблюдении, и равны нулю — в противном случае; коэффициенты определяют эффект влияния условия; — значение сопутствующей перемен ной при котором наблюдался результирующий признак — значения соответствующих коэффициентов регрессии у по вообще говоря, зависящие от конкретного сочетания условий эксперимента, т. е. от вектора — величина остаточных случайных компонент («ошибок измерения»), имеющих нулевые средние значения. Основное содержание КА — в построении статистических оценок для неизвестных параметров и статистических критериев, предназначенных для проверки различных гипотез относительно значений этих параметров.

Если в (13.28) постулировать априори то получится модель дисперсионного анализа; если же из (13.28) исключить влияние неколичественных факторов (т. е. положить то получится линейная модель регрессионного анализа. Своим названием КА обязан тому обстоятельству, что в его вычислениях используются разбиения ковариаций переменных у и X точно так же, как в дисперсионном анализе используются разбиения остаточной суммы квадратов.

Считается, что термин «КА» введен Р. А. Фишером в связи с рассмотрением одной частной схемы этой модели в § 49 144-го издания книги «Статистические методы для исследователей» (пер. с англ.-М.: Статистика, 1958).

Весьма полные сведения по современным методам КА можно найти в [29, 66, 119, 148].

13.5.2. Оценивание неизвестных значений параметров и проверка гипотез в модели КА.

Запишем линейную модель КА (13.28) в матричном виде:

или

(13.28)

где - вектор-столбец наблюдений результирующего показателя; -матрица плана эксперимента по неколичественным факторам -вектор-столбец неизвестных параметров, соответствующих неколичественным факторам (общее среднее, главные эффекты, взаимодействия и т. п.); -матрица плана регрессионных (количественных) объясняющих переменных; -вектор-столбец параметров (неизвестных коэффициентов регрессии); -вектор-столбец случайных остатков модели, подчиняющийся нормальному распределению ), где остаточная дисперсия неизвестна (подлежит оцениванию). Предполагается, что тип условий эксперимента («способ обработки» — в исходной терминологии ДА) не влияет на матрицу плана регрессионных экспериментов X, т. е. столбцы матрицы X линейно не зависят от столбцов матрицы (существенное предположение). К несущественным предположениям относятся допущения о том, что матрицы и X имеют полный ранг (соответственно k и и что не имеется ограничений на параметры (о простых модификациях описываемых процедур в случае отказа от этих допущений см., например, [119, п. 3.8.3]).

Для нахождения оценок и неизвестных параметров и можно было бы формально рассмотреть (13.28) как одну большую модель регрессии и применить к ней обычный метод наименьших квадратов (см. § 7.1, гл. 11, а также [14, п. 8.6.3]).

Однако можно добиться существенного упрощения анализа за счет использования специального строения матрицы и наших знаний специфики модели ДА. С этой целью используется так называемый двухшаговый метод наименьших квадратов (подробнее о нем см. гл. 14). Этот метод (применительно к модели КА) состоит из следующих этапов:

1. В модели (13.28) полагаем и находим по описанным в § 13.2-13.4 правилам оценки и остаточную сумму квадратов (при условии

(13.29)

где

2. Заменяем в (13.29) Y на и находим такое 0, которое минимизирует полученное выражение. Итак,

откуда

(13.30)

3. Подсчитывается остаточная сумма квадратов для общей модели (13.28) ковариационного анализа, равная [119, п. 3.7.11:

(13.31)

4. Для получения оценок заменяем в выражении для вектор Y вектором .

Проверка гипотез относительно параметров проводится так же, как в моделях ДА, только со значением ОСК, подсчитанным по формуле (13.31) и с числом степеней свободы равным числу степеней свободы ОСК модели ДА минус ранг матрицы X. Проверка гипотезы проводится с помощью статистики

которая в предположении справедливости гипотезы имеет -распределение (-ранг ).

13.5.3. Связь с проблемой статистического исследования смесей многомерных распределений.

Посмотрим на модель регрессии результирующего показателя по объясняющим переменным как на одну из характеристик их закона распределения, например, функции плотности

(13.32)

зависящей от параметров регрессии и ковариационной матрицы «остатков» V, которые в свою очередь зависят от типа условий эксперимента Тогда, анализируя данные вида

зафиксированные при различных типах условий эксперимента в действительности имеем дело с выборкой из смеси распределений вида (13.32), поскольку при варьировании типа условий меняются и значения параметров 0 и V, от которых зависит анализируемый закон распределения, а следовательно, меняется и вид искомой регрессионной зависимости

Игнорирование этого обстоятельства является причиной многих недоразумений и неудач в прикладных исследованиях, опирающихся на аппарат регрессионного анализа. Для объяснения этого обстоятельства представим себе, что при исследовании линейной парной регрессионной зависимости исходные данные фиксировались при переключающемся (в неизвестные для исследователя моменты времени) режиме типа условий эксперимента: либо в режиме 1, в котором (при весьма высокой корреляции) регрессия имела монотонно возрастающий характер, либо в режиме 2, в котором (при столь же высокой корреляции) регрессия имела монотонно убывающий характер (см. рис. 13.1). Очевидно, попытки выявить связь между у и я по такой смешанной выборке не увенчаются успехом: вычисления покажут, что связи нет.

В то же время, если предварительно (или одновременно с решением задач регрессии) разбить имеющиеся данные на однородные (по условиям эксперимента) подвыборки и строить функции регрессии отдельно для каждой такой подвыборки, то удастся установить тесную статистическую зависимость между исследуемыми переменными.

Ковариационный анализ предоставляет исследователю один из возможных подходов к реализации описанной схемы. Другие подходы опираются на статистический анализ смесей многомерных распределений: оценку параметров смеси распределений [11], модели типологической регрессии [4, 11, 82].

Рис. 13.1. Прямые 1, 2 и 3 — графики аппроксимирующих функций регрессии, построенных соответственно по наблюдениям подвыборок: 1 (точки), 2 (крестикн) и по объединенной выборке, состоящей из тех и других наблюдений

Подробное описание этих методов предполагается дать в следующем томе данного издания.

1
Оглавление
email@scask.ru