10.3.3. Оценка параметров и проверка гипотез.

Если при фиксированном порядке сплайна и заданном положении узлов верны классические предположения регрессионного анализа, т. е. причем взаимно независимы, не зависят от , где а — неизвестная постоянная, то оценка параметров проводится с помощью мнк (см. § 7.1). Обозначим — мнк-оценку , где -матрица с элементами . В сделанных предположениях имеет нормальное распределение со средним 0 и ковариационной матрицей

Оценка для строится стандартным образом как

где

Из (10.20) следует, что в матрице для , т. е. матрица имеет -диагональный вид.

Основные гипотезы, связанные с кубическими сплайн-функциями Рассмотрим гипотезы о поведении сплайна между узлами.

Гипотеза 1: между узлами кубический сплайн является квадратическим. Используя точки как знак дифференцирования по эту гипотезу можно выразить как

(10.22)

или в терминах В-сплайнов:

где — известные постоянные, зависящие только от расположения узлов Последняя формула может быть использована для построения -критерия для проверки (10.22). Обозначим тогда в случае, когда гипотеза (10.22) верна, величина имеет -распределение.

Гипотеза 2: на отрезке между узлами кубический сплайн линеен. В использованных выше обозначениях эту гипотезу можно представить как

или

Последняя форма удобна для построения -критерия. Обозначим и найдем распределение двумерного вектора Вектор нормален, имеет -ковариационную матрицу и в случае, когда (10.23) имеет место, нулевые средние. Поэтому для проверки гипотезы (10.23) может быть предложен критерий

где F имеет -распределение.