Раздел I. АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И ТЕСНОТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ИССЛЕДУЕМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ (корреляционный анализ)

Имеется ли вообще какая-либо связь между исследуемыми переменными, какова структура этих связей и как измерить их тесноту? — эти вопросы исследователь ставит перед собой уже на ранней стадии статистического исследования зависимостей (см. описание этапа 3 в § В.6).

В частности, исследователь должен уметь: а) выбрать (с учетом специфики и природы анализируемых переменных) подходящий измеритель статистической связи (индекс или коэффициент корреляции, корреляционное отношение, какую-либо информационную характеристику связи, ранговый коэффициент корреляции и т. п.); б) оценить (с помощью точечной и интервальной оценок) его числовое значение по имеющимся выборочным данным; в) проверить гипотезу о том, что полученное числовое значение анализируемого измерителя связи действительно свидетельствует о наличии статистической связи (или, как говорят, проверить исследуемую корреляционную характеристику на статистически значимое ее отличие от нуля); г) проанализировать структуру связей между компонентами исследуемого многомерного признака, снабдив проведенный анализ специальным плоским геометрическим представлением исследуемой структуры, в котором компоненты (переменные) изображаются точками, а связи между ними — соединяющими их отрезками (см. рис. 4.1 и 4.2). Описанию методов и моделей, цривлекаемых для решения всех тих вопросов, и посвящен данный раздел.

Глава 1. АНАЛИЗ ТЕСНОТЫ СВЯЗИ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

1.1. Анализ парных связей

1.1.1. Понятие индекса корреляции.

Прежде чем приступать к исследованию конкретного вида связей между рассматриваемыми переменными, т. е. к оценке неизвестных параметров В в соотношениях типа

следует выяснить, существует ли вообще эта связь, и, в случае положительного ответа, попытаться установить степень тесноты этой связи.

Во введении (§ В.5) описаны различные типы зависимостей, которые могут наблюдаться между исследуемыми переменными. Умение правильно классифицировать каждую конкретную многомерную систему наблюдений играет решающую роль при выборе соответствующих математико-статистических методов поиска изучаемой зависимости и при ее неформальной, физически содержательной интерпретации.

Однако в данном пункте в целях унификации подхода к решению исследуемой в этой главе задачи мы временно прибегнем к некоторому формальному обобщению рассмотренных ранее схем В, С и D. В частности, будет предложен подход, при котором во всех вышеупомянутых схемах зависимостей исследуемая независимая переменная интерпретируется как случайная переменная (параметр) от которой зависит закон условного распределения зависимой переменной .

Итак, при каждом фиксированном значении распределение зависимой переменной задается плотностью зависящей от X. Соответственно будут зависеть от X и математическое ожидание , и дисперсия . Природа же исследуемой многомерной схемы, т. е. тип искомой зависимости, будет определяться спецификой частного закона распределения наблюдаемой независимой переменной

Очевидно, в схеме В (наблюдения производятся в фиксированных точках без случайных ошибок в регистрации независимой переменной) случайную величину следует рассматривать как дискретную с областью мыслимых значений (не исключается возможность повторения одинаковых значений в этом ряду) и с частным законом распределения , задаваемым вероятностями

В схеме плотность частного распределения определяется, помимо набора наблюдаемых абсцисс законами распределения ошибок измерения .

Если — число различных уровней структурной компоненты X, при которых снимались экспериментальные данные — плотность распределения ошибки то

где — число наблюдений, произведенных «на уровне»

В схемах С и объясняющие наблюдаемые переменные соответственно по своей природе случайны, следовательно, им также соответствует некоторая плотность частного распределения .

Если рассмотреть случай единственного результирующего показателя и мысленно спроектировать все точки исследуемой многомерной системы на ось его возможных значений О у, то получим выборку из одномерного закона с плотностью характеризующего вероятностную природу безусловной случайной величины При такой интерпретации очевидно, что плотность частного (безусловного) распределения получается как смесь соответствующих условных плотностей , а именно: (в схеме в дальнейшем при усреднении по мы не будем специально оговаривать случай схемы В, подразумевая переход от интегрирования по X к суммированию по Соответственно в нашем дальнейшем изложении будут участвовать характеристики

Рассмотрим, например, частный случай схемы С, когда вектор исследуемых показателей

— -мерная нормальная случайная величина [14, с. 173], и пусть — соответственно векторы средних значений объясняющих переменных и результирующих показателей — ковариационные матрицы [14, с. 138] соответственно векторов

Тогда можно показать (см., например, [20, с. 45]), что условное распределение вектора результирующих показателей при условии, что значения объясняющих переменных зафиксированы на уровне (т. е. при условии также нормально с условным средним значением

и ковариационной матрицей

Из (1.3) и (1.4), в частности, следует:

а) функция регрессии по при совместном нормальном законе распределения исследуемых показателей линейна по X;

б) ковариационная матрица условного распределения вектора результирующих показателей не зависит от X;

в) если рассматривается парная регрессионная зависимость, т. е. зависимость единственного результирующего показателя от единственной объясняющей переменной в схеме С, причем распределение случайной величины подчиняется двумерному нормальному закону, то условное распределение случайной величины тоже нормально с условным средним значением (функцией регрессии)

и с дисперсией

(здесь и — средние значения соответственно объясняющей переменной и результирующего показателя и — их дисперсии, а — коэффициент корреляции между ними, см., например, [14, гл. 5]).

Будем рассматривать в дальнейшем (если специально не оговорено противное) случай единственного результирующего показателя, т. е. случай

Итак, величина характеризует полную вариацию (дисперсию) исследуемого результирующего показателя в то время как определяет дисперсию функции регрессии — усредненную (по различным значениям ) величину условной дисперсии , т. е. среднюю величину дисперсии неконтролируемой остаточной случайной компоненты (см. соотношения (В. 14), (В.16), (В.21)).

Воспользовавшись соотношением (2в.3.6) из [117, с. 94], получим следующее полезное соотношение, связывающее три вышеупомянутые меры случайного разброса:

Это означает, что полная вариация исследуемой зависимой переменной складывается из контролируемой нами вариации функции регрессии и из не поддающейся нашему контролю вариации остаточной случайной компоненты. Очевидно, связь между в соотношениях (В. 14), (В. 16), (В.21) и т. п. будет тем теснее, тем определеннее, чем менее «размазанными» окажутся участвующие в них остаточные неконтролируемые случайные компоненты и

Можно, в частности, задаться вопросом: какая доля степени изменчивости интересующего нас зависимого признака (т. е. какая доля дисперсии с) обусловливается изменчивостью описывающей его функции независимой переменной (т. е. ее дисперсией ) Так мы приходим к понятию наиболее общей характеристики степени тесноты связи между — индекса корреляции , где

Из (1.5) и (1.6) непосредственно следует, что

При этом минимальное значение индекса корреляции соответствует полному отсутствию варьирования с изменением а это означает полное отсутствие какого-либо влияния , т. е., как говорят, отсутствие корреляционной связи между результирующим показателем и объясняющими переменными

В то же время максимальное значение индекса корреляции соответствует полному отсутствию варьирования остаточной случайной компоненты . А поскольку среднее значение остаточной случайной компоненты равно нулю, то она практически исчезает из разложений (В. 14), (В. 16), (В.21). Это означает наличие чисто функциональной связи между и, следовательно, возможность детерминированного восстановления значений по соответствующим значениям объясняющих переменных

Таким образом, введенный с помощью (1.6) индекс корреляции между результирующим показателем и объясняющими переменными формально определен для любой двумерной системы наблюдений. Квадрат его величины показывает, какая доля дисперсии исследуемого результирующего показателя определяется (детерминируется) изменчивостью (дисперсией) соответствующей функции регрессии от аргумента , поэтому часто называется коэффициентом детерминации. Соответственно оставшаяся доля дисперсии объясняется воздействием неконтролируемой случайной остаточной компоненты («помехи»), а следовательно, определяет ту верхнюю границу точности, с которой мы сможем восстанавливать (предсказывать) значения по заданным значениям объясняющих переменных .

Наилучшие методы построения статистической оценки для неизвестного теоретического значения индекса корреляции так же как и различные варианты его интерпретации, зависят от ряда исходных предпосылок каждой конкретной двумерной схемы (общий вид функции , вид распределения многомерной случайной величины и т. п.). Описание их поэтому дается ниже отдельно для каждого из некоторых специальных частных случаев.