3.2.3. Двойственность в определении V и W.

В примере предыдущего пункта мы приписывали веса различным градациям оценок и получили баллы для лабораторий. При этом

Однако аналогичную задачу мы могли бы решить в обратном порядке, приписывая численные веса лабораториям так, чтобы максимизировать среднеквадратический разброс между средними баллами, соответствующими разным градациям оценок. При этом по аналогии мы получили бы

(3.29)

Если обозначить то в формуле (3.28) является вторым по величине собственным числом матрицы , а в (3.29) — вторым по величине собственным числом . Известно [102], что отличные от нуля собственные числа матриц и совпадают. Следовательно, совпадают и значения

Возьмем теперь вектор вычисленный как решение (3.21)-(3.23), и найдем вектор средних значений, приписанных лабораториям

Будем считать, что лабораториям приписаны численные значения, определяемые вектором и вычислим средние баллы, которые получат градации оценок:

В силу (3.25) левая часть (3.31) есть , т. е. векторы пропорциональны.

Продолжая, мы находим

Таким образом, безразлично, решим ли мы экстремальную задачу п. 3.2.2 для столбцов или строк, мы определим значения V, W с точностью до множителя пропорциональности.

На этом свойстве, а также на том, что — максимальное собственное число, меньшее 1, основан метод взаимных усреднений. В нем выбирается значение так, чтобы выполнялось соотношение (3.23), далее по формулам (3.30) и (3.31) находятся . Вектор каким-либо образом нормируется, например умножается на величину, обратную максимальному абсолютному значению его координат. Процесс вычислений повторяется до тех пор, пока последовательные значения V не будут близки друг к другу. Условие (3.23) гарантирует, что у начального вектора нет составляющей, соответствующей . Описанный итерационный процесс сходится тем быстрее, чем удачнее выбрано начальное приближение.