12.1. Дискретные динамические модели

Одним из наиболее наглядных, простых и в то же время весьма часто и плодотворно используемых динамических моделей являются модели вида

где — параметры, подлежащие оцениванию по наблюдениям (12.1), — случайные величины, удовлетворяющие условиям

Если то (12.2) называют моделью авторегрессии. Если же в правой части (12.2) равно нулю первое слагаемое, то говорят о модели скользящего среднего. При соотношения вида (12.2) называют смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего.

В отличие от регрессионных моделей, где случайность чаще всего описывает погрешность наблюдения, модель предполагает, что уже сам исследуемый объект описывается вероятностной моделью, т. е. что анализируемая переменная х — случайная величина. Типичной областью применения модели (12.2)-(12.2) являются эконометрические исследования (см. гл. 14). При учете трендов оказывается удобным рассматривать вместо (12.2) ее несколько усложненный вариант:

где - заданные функции. Нередко «точные» значения оказываются недоступными. Тогда модели (12.2) или (12.3) приходится дополнять предположениями, что для анализа доступны лишь «зашумленные» наблюдения

Обычно предполагается, что

Как будет ясно из дальнейшего, численные аспекты задач оценивания, порождаемых моделями (12.2)-(12.3), не вызывают каких-либо затруднений, так как опираются на стандартный аппарат метода наименьших квадратов (см. гл. 7—9). Однако изучение статистических свойств соответствующих оценок приводит к целому ряду довольно сложных проблем. С большинством из них приходится сталкиваться уже при изучении простейшего варианта модели (12.2) — авторегрессии первого порядка. Именно поэтому авторегрессия первого порядка и будет достаточно подробно изучена в следующем параграфе.