11.2. Нелинейный нормальный вариант идеализированной схемы регрессионной зависимости

В данном параграфе исследуются вопросы точности регрессионного анализа применительно к общей параметрической модели регрессии, в которой наблюденные значения соответственно результирующего показателя и объясняющей (неслучайной) переменной связаны соотношениями

(11.20)

При этом постулируется выполнение следующих допущений:

1) выбранный исследователем класс допустимых решений F содержит в себе искомую функцию регрессии т. е.

(11.21)

2) регрессионные остатки несмещены относительно нуля, взаимно некоррелированы и одинаково нормально распределены, т. е.

(11.22)

3) искомая функция регрессии нелинейно зависит от подлежащих статистическому оцениванию параметров однако характер этой зависимости достаточно гладкий (например, существуют всевозможные вторые производные от по параметрам .

Напомним, что главным (принципиальным) пунктом «идеализации» анализируемой схемы является первый, т. е. допущение (11.21). Два других носят, скорее, полутехнический характер.

Относительная сложность решения различных вопросов точности регрессионного анализа (по сравнению с предыдущим линейным вариантом) состоит в том, что в данном случае мнк-оценки неизвестных параметров 0 определяются не в виде явных аналитических выражений (ср. с (11.9)), а лишь в ходе итерационных алгоритмических процедур (см. гл. 9), что существенно затрудняет исследование их свойств. В основе обычно используемых в данной схеме подходов — разложение в ряд Тейлора (по параметрам в окрестности наилучшей оценки 0) оптимизируемого критерия адекватности (см. гл. 5 и 9) и искомой функции регрессии

11.2.1. Основные свойства мнк-оценок.

Поскольку мнк-оценки параметра в условиях (11.20)-(11.22) совпадают с оценками максимального правдоподобия [14, п. 8.6.1; 25, гл. 4], то мы можем воспользоваться общими результатами о свойствах последних. Из них, в частности, следует, что мнк-оценки регрессионных коэффициентов модели (11.20) являются (при условии соблюдения упомянутых условий) состоятельными: асимптотически-несмещенными, асимптотически-эффективными и асимптотически-нормальными (асимптотика по ).

Для того чтобы перейти непосредственно к решению задач анализа точности нелинейной регрессионной модели, нам необходимо получить предварительно выражение, аналогичное (11.11), для ковариационной матрицы мнк-оценок .

С этой целью воспользуемся разложением функции регрессии в ряд Тейлора в окрестности точки (где — мнк-оценка параметра , полученная с помощью процедур, описанных в гл. 9), ограничиваясь линейными членами разложения:

или, в обозначениях гл. 9 (см. п. 9.3.1):

где

Выражение (11.23) для произвольного значения X дает:

Введение обозначений

позволяет записать выражение (11.24) в виде

(11.24)

и свести, таким образом, нелинейную модель (11.20) к ее аппроксимации линейной схемой, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Решение задач анализа точности регрессионной модели основано на исследовании точности оценок и отклонений . Примем во внимание приближенные соотношения (11.24) и (11.24), равенство ковариационных матриц оценок и (т. е. ) и возможность использования обычного приближенного приема вычисления вторых моментов статистических оценок, когда в полученные выражения для этих моментов, зависящие от неизвестных значений оцениваемых параметров, вставляются их оценки. Тогда можно, опираясь на результаты предыдущего параграфа (см. также 125, § 7.51), получить следующие выражения для ковариационной матрицы оценок и для ее оценки :

(11.26)

где

(11.27)

причем производные, участвующие в выражении элементов матрицы , берутся в точке т. е.