4.3. Оценка графа структуры зависимостей компонент нормального вектора

4.3.1. Вес связи.

Пусть X — нормально распределенный вектор с ДСЗ своих компонент. Весом связи назовем , где — коэффициент корреляции между . Весом графа назовем суммарный вес его ребер. Тогда вес графа структуры зависимостей

Формула (4.14) подсказывает, что среди всех деревьев T, которые можно построить на вершинах графы структуры зависимостей, отличающиеся между собой (в силу теоремы 4.2) только несущественными связями с нулевым весом, будут иметь наибольший вес.

Теорема 4.4. Для невырожденного нормального вектора с ДСЗ вес графа структуры зависимостей строго больше веса любого дерева, отличающегося от него хотя бы одним ребром, имеющим ненулевой вес.

Доказательство теоремы проводится методом математической индукции. Для оно верно. Предположим, что оно верно для всех , и докажем, что оно верно и для . Не нарушая общности, можно считать, что перестановка а соответствует естественной нумерации координат. Обозначим граф структуры зависимостей X и произвольное дерево, построенные на . Тогда — некоторая вершина G. Если , то утверждение теоремы верно согласно предположению, так как

Но если , то согласно , где вершины берутся вдоль простой цепи в соединяющей Поскольку все коэффициенты корреляции по модулю строго меньше единицы (в силу невырожденности распределения X), то

если только .

В силу сделанного предположения, а также и (4.17) утверждение теоремы верно и для