10.3. Кусочно-параметрическая (сплайновая) техника аппроксимации регрессионных зависимостей

В последние два десятилетия в вычислительной математике и в инженерной практике широкое распространение получили функции, называемые сплайнами. Этот термин произошел от английского spline, означающего упругую и гибкую металлическую линейку, использовавшуюся для проведения гладкой кривой, проходящей через заданные точки. Одномерный сплайн степени I представляет собой функцию, непрерывную вместе со своими — -ыми производными, у которой производная порядка постоянна на интервалах между заданными точками, называемыми узлами. Сплайн I-й степени можно представить состоящим из гладко (до порядка) склеенных в узлах полиномов степени.

Сплайны сравнительно мало известны прикладным статистикам. Вместе с тем, по мнению ряда авторов [54, 114], они являются наиболее удачными аппроксимирующими функциями для приложений. Дело здесь в том, что поведение функции, выражающей физические взаимоотношения, в одной области пространства может быть полностью не связанным с ее поведением в другой области. Полиномы наряду с большинством других математических функций обладают как раз обратным свойством. Их поведение в малой области однозначно определяет поведение в любой другой точке. Сплайны, поскольку они определяются кусочно, лишены этого недостатка, и для они прекрасно представляют гладкие кривые физического мира.

В последние годы сплайны стали широко использоваться при аппроксимации регрессионных зависимостей.

Основная часть этого параграфа посвящена одномерным сплайнам.