4.2.2. Распределения с древообразной структурой зависимостей (ДСЗ).

Изложение начнем с определения.

Определение 4.6. Будем говорить, что -мерный вектор X имеет ДСЗ, если существует хотя бы одна перестановка координат вектора , такая, что для каждого найдется номер

что «почти всюду по для всех

При этом соответствует фиктивной координате

Для вектора X с ДСЗ рассмотрим граф , где Граф G имеет ребер и в силу (4.7) не имеет цикла, поэтому согласно теоремы 4.1 он является деревом. Отсюда и происходит термин «древооб разная структура зависимостей». Граф G будем называть графом структуры зависимостей X. Заметим, что в случае, когда для некоторого можно положить , т. е. распределение не зависит можно было бы выбрать любое из чисел, стоящих в правой части (4.7).

Таким образом, граф G определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Однако единственность будет, если на распределение X наложить дополнительное ограничение; для всех пар координат для всех возможных значений в случае дискретного распределения X

и в непрерывном случае

В важном частном случае невырожденного -мерного нормального распределения условие (4.8) выполняется всегда.

Теорема 4.2. Пусть вектор X имеет ДСЗ, выполняются условия (4.8) и (4.8) и — два различных графа структуры зависимостей X. Тогда для любого ребра координаты (вектора) и независимы, т. е. графы отличаются друг от друга только ребрами, соответствующими независимым координатам. Ввиду принципиальной важности этого результата изложим схему его доказательства. Оно проводится в несколько шагов.

1. В графе выбирается простая цепь, соединяющая вершины i и Согласно п. 4 теоремы 4.1 она всегда существует. Так как цепь содержит хотя бы одну вершину, отличную от . Обозначим эту вершину .

2. Координаты как лежащие на простой цепи (в графе ), образуют марковскую последовательность. Следовательно, в дискретном случае совместное распределение описывается формулой

3. Возьмем в графе простую цепь, соединяющую Возможны два случая: 1) цепь содержит вершину и 2) цепь не содержит вершину . В первом случае на простой цепи вершины лежат в порядке во втором — в порядке Оба случая рассматриваются одинаково. Пусть для определенности имеет место первый случай, тогда совместное распределение описывается формулой

4. Формулы (4.9) и (4.10) описывают одно и то же распределение, поэтому их можно приравнять.

Опираясь на условие (4.8), в полученном равенстве можно произвести упрощения. После несложных преобразований получаем

Произведем суммирование по всем возможным значениям . В результате получаем, что

что и требовалось доказать. Случай непрерывных распределений рассматривается аналогично с заменой вероятностей на соответствующие плотности.

Рассмотрим теперь задачу о нахождении при известном графе структуры зависимостей G перестановки координат а, позволяющей представить распределение X в виде (4.5). Положим и возьмем произвольную простую цепь, начинающуюся в 0. Будем двигаться вдоль нее от нуля, считывая номера проходимых координат и приравнивая их Затем берем следующую простую цепь, начинающуюся в одной из уже пройденных вершин или в 0, и двигаемся вдоль нее, продолжая считывание, и т. д. до тех пор, пока не будут исчерпаны все вершины графа и тем самым определена полностью перестановка а. Поскольку координаты, лежащие вдоль простой цепи, образуют цепь Маркова (см. п. 2, 3 схемы доказательства теоремы 4.2), из построения а сразу же следует возможность представления распределения X в виде (4.5). В отдельных случаях перед построением а может оказаться удобным в графе G изменить некоторые несущественные связи, соответствующие независимым координатам с теоремой 4.2). 4.2.3. Нормальное распределение с ДСЗ. Пусть X имеет невырожденное -мерное распределение с вектором средних М и ковариационной матрицей с известной структурой зависимостей, заданной функцией . Вопросы, связанные с нахождением обсуждаются в следующем параграфе. Наша ближайшая цель — найти общий вид плотности X.

Известно (см. [14, с. 172] и теорему 2.5.1 [20, с. ), что условное распределение при фиксированном значении компоненты нормально с параметрами

где

Откуда в силу (4.5) плотность X равна:

Таким образом, гауссовские распределения с ДСЗ имеют очень простой вид — матрицы, обратной ковариационной. В ней над диагональю стоят не более отличных от нуля элементов. Если перестановка а совпадает с исходной нумерацией координат X, то над главной диагональю в каждом столбце стоит не более одного отличного от нуля элемента.

В качестве примера приведем ковариационные матрицы случайных векторов, графы структуры зависимостей которых показаны на рис. 4.1 и 4.2. В первом случае

и во втором

здесь знаком показаны отличные от нуля элементы.

Полезно представление в виде

где — матрица с элементами

Если перестановка а совпадает с исходной нумерацией координат, то и С — нижняя треугольная матрица.

Граф структуры зависимостей G нормально распределенного вектора X может быть использован при вычислении коэффициентов корреляции между координатами X. Для этого нам необходимо знать только коэффициентов корреляции между парами координат, соответствующих ребрам G.

Теорема 4.3. Для нормального вектора X с ДСЗ для всех

где — простая цепь, связывающая в графе G структуры зависимостей вершины

Доказательство. Последовательность координат X, образующая простую цепь, является марковской (см. п. 2 и 3 доказательства теоремы 4.2). Пусть эти координаты будут . В силу теоремы 1 [140, с. 122] для последовательности нормальных величин, связанных в цепь Маркова,

что и требовалось доказать.

Остановимся теперь на выборочной оценке при известном графе G структуры зависимостей. В качестве первого шага по графу G находится перестановка а. Это можно, например, сделать так, как указано в конце предыдущего пункта. Далее строится С — оценка матрицы С путем замены в С величин их выборочными оценками, — оценка находится как

Если в качестве взять обычные в нормальном случае выборочные оценки [14, табл. 6.3, п. 6], то есть оценка максимального правдоподобия [14, § 8.2] для при известной структуре зависимостей. Для доказательства этого можно воспользоваться леммой 3.2.2 [20], позволяющей найти в рассматриваемом случае максимум уравнения правдоподобия.