7.4.4. Использование многомерной регрессии для параметризации многомерных распределений.

Плотность распределения -мерного случайного вектора всегда может быть представлена в виде . В гауссовском случае, когда

и — вектор средних значений и ковариационная матрица, разбитые в соответствии с разбиением вектора X,

Замечательная особенность многомерного нормального распределения состоит в том, что ковариационная матрица условного распределения при фиксированном значении не зависит от . В общем случае это не так, и описание условного распределения значительно сложнее.

Для описания многомерного распределения предлагается распределение части координат аппроксимировать стандартной нормальной моделью или считать таким, как оно получилось в выборке, а распределение остальных координат заменить на надлежащим образом подобранный -мерный нормальный закон со средним, линейно зависящим от и ковариационной матрицей V условного распределения при фиксированном значении , от не зависящей. Но это и есть модель линейной многомерной регрессии, в которой играет роль предикторной точки-наблюдений — роль многомерного результирующего показателя — многомерная регрессия на — регрессионные остатки с ковариационной матрицей V.

Если в основу подбора параметров многомерной регрессии при описании распределения положить требование совпадения не обычных, а взвешенных моментов условного распределения при известном значении , то при соответствующем выборе весовой функции можно прийти к использованию эв-регрессии.