14.5. Метод неподвижной точки

Для оценивания параметров систем одновременных уравнений в настоящее время помимо классических методов, рассмотренных в предыдущих параграфах, используются различные итеративные процедуры, основанные на методе неподвижной точки.

Запишем общую линейную модель (14.7), (14.8) в следующем виде:

где матрица С получена из заменой диагональных элементов последней нулями, . Соответствующая приведенная форма имеет вид

с

Положим . Тогда, очевидно,

(14.34)

Соотношения (14.34), (14.35) называют переформулированной формой системы одновременных уравнений.

В методе неподвижной точки соотношение (14.34) рассматривается как регрессионное уравнение, в котором помимо неизвестных С и D неизвестными являются и объясняющие переменные Y, для которых должно выполняться соотношение (14.35). Оказывается, при выполнении некоторых дополнительных условий С, D и Y определяются однозначно (доказательство использует теорему о неподвижной точке, отсюда и название метода). Более того, они могут быть найдены при помощи следующей итеративной процедуры.

Начальное значение (нулевое приближение для Y берется произвольным, после чего первые приближения и для С и D вычисляются из регрессии Y на и X, т. е. из соотношения

Следующее приближение для Y определяется равенством

Далее указанный процесс повторяется:

При этом

Таким образом, алгоритм метода неподвижной точки представляет из себя комбинацию метода наименьших квадратов и итерационного метода Якоби решения системы линейных алгебраических уравнений. На практике, однако, было установлено, что этот алгоритм далеко не всегда является сходящимся. Для улучшения сходимости были предложены различные его модификации. Например, в релаксационном методе неподвижной точки приближение для Y находится по формуле

где , а — некоторая постоянная, . Имеются также модификации, цель которых состоит в уменьшении объема вычислений (рекурсивные методы неподвижной точки). Отметим, что теоретические свойства оценок, полученных по методу неподвижной точки, изучены недостаточно. Показано, однако, что если соответствующие итеративные процедуры сходятся, то полученные оценки параметров являются состоятельными. Исследованы свойства метода для малых выборок и произведено его сравнение с другими методами при помощи, численного моделирования. Имеющиеся здесь результаты носят достаточно противоречивый и неполный характер. В экспериментах был замечен один большой недостаток метода [106]: оценки являются неустойчивыми и не всегда сходятся к какому-либо одному решению.