Раздел III. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ КОЛИЧЕСТВЕННОГО РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ОТ ОБЪЯСНЯЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫХ СМЕШАННОЙ ПРИРОДЫ

Глава 13. ДИСПЕРСИОННЫЙ И КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Допустим, что экономиста колхоза интересует зависимость урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры от типа почвы, сорта семян и работающего на поле звена. Допустим, далее, что в колхозе имеется типов почвы, используется J сортов семян и обработкой культуры заняты К звеньев. Экономиста интересует: а) средняя урожайность каждого сорта семян для выбора наиболее подходящего для данного хозяйства сорта; б) влияние почвенных условий на урожайность и в) различие в трудовой отдаче звеньев, что важно для дифференцированной оплаты труда. С математической точки зрения экономист должен изучить зависимость количественной случайной величины (урожайности) от величин номинальных (сорт, звено, тип почвы). Пусть на поле с типом почвы работало звено, которое возделывало сорт, и пусть — урожайность поля. Приступая к расчетам, экономист может построить математическую модель вида

где — константы, отражающие соответственно средний урожай в колхозе, влияние на урожай типа почвы, сорта семян и звена, — «остаточная» случайная величина, представляющая собой отклонение наблюдаемой урожайности от модельных предположений. В модели обычно предполагается, что «остатки» независимы между собой, одинаково распределены и имеют нормальное распределение с нулевым средним. Конечно, модель (13.1) можно сделать более точной, введя в правую часть дополнительные константы, учитывающие, например, эффект взаимодействия типа почвы и сорта семян, сорта семян и звена и т. п.

Модели типа (13.1) называют моделями дисперсионного анализа с постоянными факторами, а совокупность методов их изучения - собственно дисперсионным анализом (ДА). Эти модели описаны в § 13.2, 13.3.

Представим теперь, что анализ проводит экономист района или области и его интересуют не успехи отдельных звеньев, а скорее тот вклад в общую изменчивость урожайности, который вносит разная работа звеньев. В этом случае постоянную , которая характеризовала в (13.1) работу звена, целесообразно заменить на случайную величину и назвать случайным фактором. Линейные модели ДА, содержащие только случайные факторы, называют моделями со случайными факторами. Модели, куда входят одновременно постоянные и случайные факторы, называют смешанными моделями дисперсионного анализа (последние два типа моделей описаны в § 13.4; см. также [148]).

Если требуется проанализировать данные за ряд лет, различающихся, например, по своим погодным условиям, которые характеризуются количественными переменными , то для того, чтобы учесть влияние климата, к правой части (13.1) можно добавить дополнительные члены вида где — неизвестные постоянные коэффициенты, оцениваемые по обычным данным, a — известные количественные (базисные) функции внешних условий X (например, средней температуры, количества осадков и т. п.). Эти дополнительные количественные факторы называют регрессионными переменными, а методы изучения моделей, в которых часть переменных является неколичественными, а часть количественными (регрессионными), ковариационным анализом (модели ковариационного анализа посвящен § 13.5).