13.3. Полный двухфакторный дисперсионный анализ

13.3.1. Взаимодействия.

Рассмотрим полный двухфакторный эксперимент с факторами А и В, имеющими соответственно градаций (уровней). Обозначим - среднее значение результата эксперимента при сочетании i-гo уровня фактора А с уровнем фактора В (среднее значение в -ячейке прямоугольной таблицы, в которой строкам соответствуют градации фактора А, а столбцам — градации фактора В). Пусть системы весов, выбранные в соответствии с градациями факторов А и В. Например, если фактор А — тип почвы, а В — сорт, результат эксперимента — урожай, то и может быть пропорционально площадям с типом почвы, — площадям, занятым сортом. Средним значением уровня (фактора) А называют

В рассмотренном выше примере — ожидаемая средняя урожайность на типе почвы при условии, что выбор сорта при посеве не зависит от типа почвы и пропорционален Эти условия выполняются, в частности, когда либо тип почвы оказывает приблизительно одинаковое влияние на урожайность всех сортов, либо низка общая культура земледелия, и землепользователю просто неизвестны или он лишен возможности использовать оптимальные сочетания сорта и типа почвы. Аналогично определяется среднее уровня (фактора) . В примере — это ожидаемая средняя урожайность сорта при случайном распределении его по полям, пропорциональном

Генеральным средним называют

Главный эффект уровня А определяется как Очевидно, удовлетворяют условию

(13.12)

Аналогично главный эффект уровня В определяется как удовлетворяют условию

(13.13)

Взаимодействием i-го уровня А с уровнем В называют

Взаимодействия удовлетворяют условиям:

(13.14)

Итак, математическая модель для средних имеет вид

где удовлетворяют уравнениям

Очень важным для практического использования ДА является следующее утверждение [148, § 4.1]:

Если при некоторой системе весов все взаимодействия равны нулю, то они равны нулю при любой другой системе весов. В этом случае модель называют аддитивной. В аддитивной модели каждое сравнение средних или и главных эффектов или имеет значение, не зависящее от системы весов

Содержательная интерпретация результатов ДА проста и наглядна, когда мы решаем основании статистических или других соображений), что взаимодействия отсутствуют. В этом случае заключением о главных эффектах можно завершить весь анализ. Однако если гипотеза об отсутствии взаимодействий была принята на основании только того, что она не была отвергнута некоторым -критерием, то следует посмотреть мощность этого критерия и оценить, насколько статистически невыявленные взаимодействия могут повлиять на интерпретацию результатов.

Часто величины взаимодействий могут быть уменьшены с помощью подходящего преобразования наблюдаемых случайных величин [14, п. 10.3.4]. Пример использования преобразования с целью сделать модель аддитивной можно найти в [170].

Среди статистиков нет единого мнения о целесообразности изучения главных эффектов в условиях статистически значимых взаимодействий. Нам кажется, что этот вопрос носит, скорее, содержательный, чем формально-математический характер. Если введенные средние имеют смысл, то изучение их свойств целесообразно. Наконец, взаимодействия могут быть значимы статистически, но относительно малы по сравнению с главными эффектами.

Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, будет выбираться система весов: Такие веса иногда называют равными.

13.3.2. Двухфакторный анализ с равным числом К наблюдений в ячейках (К > 1).

Обозначим наблюдение в -ячейке, тогда математическая модель имеет вид

(13.16)

где независимы и имеют нормальное распределение со средним, равным нулю, и дисперсией а константы удовлетворяют соотношениям (13.12)-(13.14) с равными весами. Обычно проверяются следующие гипотезы:

Оценки для параметров строятся аналогично тому, как это делается в § 13.2.1:

Возьмем тождество

возведем в квадрат его правую и левую части и просуммируем по всем значениям индексов . Так как все смешанные произведения при суммировании равны нулю, получаем

Поскольку сумма рангов слагаемых правой части (13.17) совпадает с рангом квадратичной формы левой части, согласно теореме Кохрана получаем, что суммы квадратов правой части независимы и соответственно распределены как с числом степеней свободы, совпадающим с рангом соответствующей формы. Таким образом, критерии для проверки гипотез могут быть построены как соответствующие -отношения определены в таблице ДА для двухфакторного анализа с наблюдениями в ячейке (табл. 13.2).

Таблица 13.2

(см. скан)

Доверительные интервалы для сравнений могут быть построены с помощью -метода аналогично тому, как это сделано в случае однофакторного анализа. Г-метод может быть также применен к разностям главных эффектов. Однако к взаимодействиям он уже не применим.

13.3.3. Случай неравных.

В общем случае не существует простого разложения, подобного (13.17). Поэтому остаются две возможности: либо воспользоваться точным, но громоздким методом анализа, изложенным, например, в монографии [148], либо применить приближенный метод. Последний заключается в следующем. Приближенно считают, что

где независимы и нормально распределены с нулевым средним и дисперсией удовлетворяют соотношениям Оценка в этом случае строится с помощью Далее анализ проводится так же, как в п. 13.3.2 с .

В частном случае, когда для всех где при выборе разложение типа (13.17) имеет место, и ДА проводится с очевидными изменениями в табл. 13.2.

13.3.4. Случай.

Как правило, подобные данные возникают при использовании планов с рандомизированными блоками, когда можно априори ожидать, что или взаимодействие между изучаемым фактором А (способом обработки) и фактором В (блоком) мало в среднем, или что существует малопараметрическая параметризация взаимодействий. Ниже указываются основные модели.

Аддитивная модель без взаимодействий

(13.18)

где а независимы, нормально распределены . При рандомизированных блоках отражает суммарное влияние двух источников случайных отклонений: отклонения, связанного со случайностью расположения фактора А в блоке, и отклонения, равного случайной погрешности воспроизведения эксперимента при заданном расположении А в блоке.

Поскольку в аддитивной модели предполагается, что взаимодействия отсутствуют, проверка гипотез проводится так же, как в п. 13.3.2, только роль суммы квадратов ошибок играет сумма квадратов взаимодействий. Табл. 13.3 — это таблица ДА для аддитивной модели двухфакторного анализа с одним наблюдением в ячейке.

Таблица 13.3

Модель с однопараметрическим описанием взаимодействий носит стандартный вид (13.16), только дополнительно предполагается, что

(13.19)

Гипотеза об отсутствии взаимодействий в этом случае эквивалентна гипотезе . Для ее проверки можно использовать критерий

(13.20)

где

Критерий F в (13.20) при имеет -распределение с степенями свободы. Гипотезы проверяются так же, как в п. 13.3.2, только сумма квадратов ошибок определяется как и имеет на одну степень свободы меньше, чем в табл. 13.3.

Более реалистической является модель с параметрическим описанием взаимодействий [217]. Она похожа на предыдущую, только в ней предполагается, что взаимодействия пропорциональны произведению не главных факторов, а некоторых констант, оцениваемых по выборке,

Пусть - матрица с определенными, как в (13.21), тогда и определяются, как выше, а где наибольшее собственное число матрицы ; -нормализованный собственный вектор , соответствующий собственному числу аналогичный вектор . Для проверки гипотезы используется отношение типа (13.20) с естественной заменой на . Однако распределение отношения сложнее и не сводится к -распределению.