2.3. Анализ множественных ранговых связей

2.3.1. Коэффициент конкордации (согласованности) как измеритель статистической связи между несколькими порядковыми переменными.

До сих пор мы рассматривали корреляцию между двумя порядковыми переменными. Однако при решении основных задач статистического анализа ранговых связей (см. п. 2.1.3) возникает необходимость уметь измерить статистическую связь между несколькими (более чем двумя) переменными.

С этой целью Кендаллом [67] был предложен показатель названный коэффициентом конкордации (или согласованности), вычисляемый по формуле

где — число анализируемых порядковых переменных (сравниваемых упорядочений); — число статистически обследованных объектов или длина ранжировки (объем выборки); — номера отобранных для анализа порядковых переменных (из исходной совокупности ), так что, очевидно,

Нетрудно устанавливаются следующие свойства коэффициента конкордации (см., например, [67, гл. 6]):

а)

б) тогда и только тогда, когда все анализируемых упорядочений совпадают;

в) если и анализируемые ранжировки генерируются подобно случайному независимому -кратному извлечению из множества всех возможных упорядочений объектов (условия гипотезы см. и. 2.1.4), то связи между ними нет и

г) пусть — среднее значение коэффициента Спирмэна, подсчитанное по значениям коэффициентов ), характеризующих ранговую связь между всеми возможными парами переменных из анализируемого набора тогда

в частности, из (2.17) следует для случая что

т. е. коэффициент конкордации, исчисленный для двух переменных, пропорционален введенному ранее парному ранговому коэффициенту корреляции Спирмэна.

То, что шкала измерения не включает в себя отрицательных значений, объясняется следующим обстоятельством. В отличие от случая парных связей при анализе порядковых переменных противоположные понятия согласованности и несогласованности утрачивают прежнюю симметричность (относительно нуля); упорядочения, произведенные в соответствии с переменными могут полностью совпадать, но не могут полностью не совпадать в том смысле, который мы вкладывали в это понятие при .

Формула (2.16) получена (и справедлива) в предположении отсутствия объединенных рангов в каждом из анализируемых упорядочений. Если же таковые имеются, то формула должна быть модифицирована:

где поправочный коэффициент (соответствующий переменной подсчитывается по формуле (2.4).