Главная > Прикладная статистика: Исследование зависимостей
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Раздел II. ИССЛЕДОВАНИЕ ВИДА ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ КОЛИЧЕСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ (регрессионный анализ)

Глава 5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Предыдущий раздел (гл. 1—4) посвящен описанию математического аппарата, привлекаемого для реализации 3-го этапа статистического исследования зависимостей (см. «Корреляционный анализ» в п. В.6), на котором исследователь пытается проанализировать структуру связей между рассматриваемыми переменными и измерить степень их тесноты. После того как он убедится в наличии статистически значимых связей между анализируемыми переменными, он приступает к выявлению и математическому описанию конкретного вида интересующих его зависимостей: подбирает класс функций, в рамках которого будет вести свой дальнейший анализ (этап 4); производит, если это необходимо, отбор наиболее информативных предсказывающих переменных (этап 5); вычисляет оценки для неизвестных значений параметров, участвующих в записи уравнения искомой зависимости (этап 6); анализирует точность полученного уравнения связи (этап 7). Этапы 4—7 и составляют содержание регрессионного анализа, описанию которого посвящен данный раздел.

Но прежде чем переходить к изложению методов, составляющих аппарат регрессионного анализа, необходимо ввести и прокомментировать ряд основных понятий и определений.

5.1. Функция регрессии как условное среднее и ее интерпретация в рамках многомерной нормальной модели

Во введении при общей формулировке задачи статистического исследования зависимостей (п.В.1), при описании основных прикладных проблем, в решении которых используется аппарат статистического исследования зависимостей (п.В.4), и при классификации основных типов исследуемых зависимостей (п.В.5) мы, по существу, уже использовали понятие «функции регрессии».

Перед тем как сформулировать общее определение функции регрессии, вернемся к примерам В.1 и В.2

В примере В.1 мы исследовали, как меняется средняя величина удельных денежных сбережений семьи в зависимости от ее среднедушевого дохода , причем усреднение денежных сбережений производилось по всем семьям данной группы по доходам (т. е. при ). Другими словами, анализировалась зависимость условного среднего значения удельных семейных сбережений от среднедушевого дохода (см. табл. В.1 и рис. В.2).

В примере В.2 анализировалось поведение показателя средней долговечности испытуемого образца в зависимости от величины характеристики эксплуатационного напряжения где усреднение величины производилось по всем образцам, испытанным при заданном значении характеристики эксплуатационного напряжения Таким образом, речь опять идет об исследовании зависимости условного среднего значения результирующего показателя (вычисленного при условии, что объясняющая переменная приняла заданное значение ) от текущего значения объясняющей переменной (см. табл. В.4 и рис. В.5).

Рассмотрим общую схему. Пусть значение исследуемого результирующего показателя при данных фиксированных величинах объясняющих переменных случайным образом флюктуирует вокруг некоторого (вообще говоря, неизвестного) уровня зависящего от конкретных значений предикторов т. е.

где остаточная компонента определяет случайное отклонение значения от постоянного (при фиксированных ) уровня При этом наличие флюктуации может быть присуще самой природе эксперимента или наблюдения (как в примерах В.1 и В.2), а может объясняться случайными ошибками в измерении величины (тогда является результатом несколько искаженного измерения значения ). Когда говорят, что «некоторая величина случайным образом флюктуирует вокруг определенного (неслучайного) уровня то, как правило, имеют в виду, что среднее значение такой флюктуирующей случайной величины должно быть равно

Поскольку условия эксперимента и, в частности, уровень, около которого флюктуирует зависят от конкретных значений некоторого набора объясняющих переменных, соответственно то из (5.1) и только что сказанного непосредственно следует

Функция описывающая зависимость условного среднего значения результирующего показателя (вычисленного при условии, что величины предсказывающих переменных зафиксированы на уровнях ), от заданных фиксированных значений предсказывающих переменных, называется функцией регрессии.

В общем случае для точного описания функции регрессии необходимо точное знание условного закона распределения результирующего показателя (при условии, что Поскольку в статистической практике мы никогда не располагаем такой информацией, то обычно ограничиваются поиском подходящих аппроксимаций для , основанных на исходных статистических данных вида (В.1) (о методах построения таких аппроксимаций см. гл. 7—10).

Однако в жестких теоретических рамках модельных допущений о типе распределения исследуемого вектора показателей может быть получен общий вид функции регрессии (здесь, как и ранее, ). Так, например, если предположить, что исследуемый вектор переменных подчиняется -мерному нормальному распределению с вектором средних значений

и с ковариационной матрицей

где

а

то из (1.3) непосредственно следует

Таким образом, если анализируемый многомерный признак подчинен (-мерному нормальному закону, то функция регрессии результирующего показателя по объясняющим переменным имеет линейный (по X) вид, а ее коэффициенты выражаются в терминах первых двух моментов анализируемых случайных величин.

Происхождение термина «регрессия» (лат. «regression» — отступление, возврат к чему-либо) связано только с прикладной спецификой одного из первых конкретных примеров, в котором это понятие было использовано, но никак не с его общесмысловым наполнением. Этот термин был введен английским психологом и антропологом Ф. Гальтоном в связи с вопросом о наследственности роста. Обрабатывая статистические данные, Гальтон нашел, что сыновья отцов, отклоняющихся по росту на дюймов от среднего роста всех отцов, сами отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше, чем на дюймов. Гальтон назвал выявленную тенденцию «регрессией к среднему состоянию» («regression to mediocrity»). Однако термин столь прочно внедрился в статистическую литературу, что мы не делаем попытки заменить его более подходящим для выражения существенных свойств понятия статистической зависимости.

1
Оглавление
email@scask.ru