6.2.2. Учет и формализация «гладких» свойств искомой функции регрессии.

Выше упоминалось, что чрезмерное усложнение класса допустимых решений F и, в частности, завышение порядка аппроксимирующего регрессионного полинома (в погоне за снижением значения выборочного критерия адекватности может привести к неоправданному усложнению вида искомой функции когда случайные отклонения исходных или условно осредненных точек неправильно истолковываются как определенные закономерности в поведении регрессионной кривой.

На рис. 6.2 представлен наглядный пример такого переусложнения, когда, располагая таблицей исходных данных вида табл. 6.2

Рис. 6.2. Аппроксимация регрессионной функции (пунктирная кривая) с помощью полинома 3-го порядка

Таблица 6.2

и подбирая аппроксимирующий полином

проходящий через все заданные точка приходят к необоснованному нарушению гладкости неизвестной истинной функции регрессии

Из рис. 6.2 мы видим, что это нарушение гладкости уводит нас достаточно далеко от истины как для значений х, расположенных внутри отрезка [5; 15], так и при Поэтому не следует забывать, что если истинный общий вид функции регрессии нам не известен и мы вынуждены ее формально аппроксимировать (например, алгебраическим полиномом), то всякая интерполяция и тем более экстраполяция 1 построенной нами аппроксимационной функции регрессии является, строго говоря, действием, теоретически не обоснованным. Приведенный пример предупреждает нас о необходимости быть очень осторожными при истолковании и применении регрессионных уравнений, не использующих специальные сведения об изучаемом процессе или явлении.

Интуитивные соображения относительно соблюдения необходимых свойств гладкости, высказываемые при выборе общего вида функции регрессии могут быть формализованы с помощью так называемых функционалов гладкости . Эти функционалы устроены таким образом, что чем более гладкой, более плавной является функция тем меньшее числовое значение они принимают. Нетрудно показать, что к такого рода функционалам относятся функционалы вида

Приведем пример, в котором выбор функционала гладкости и требование его минимизации поддаются четкой физической интерпретации. Формально задача выглядит так.

Рассматривается парная регрессионная схема типа В (см. § В.5)

с известной величиной дисперсии остаточной случайной компоненты

Имеются результаты наблюдений . Требуется определить такую выборочную аппроксимацию функции регрессии , для которой одновременно выполнялись бы условия

Другими словами, из всех функций, для которых остаточная дисперсия равнялась бы заданной величине мы должны выбрать наиболее гладкую в смысле минимизации функционала гладкости . Можно привести пример простой физической интерпретации формальной модели (6.5): если мы рассмотрим бесконечную тонкую гибкую рейку, закрепленную в точках но закрепленную не «намертво», а с помощью пружинок заданной силы (пропорциональной , то эта рейка изогнется как раз по кривой определяемой соотношениями (6.5).

Более подробно о результатах, относящихся к решению задач типа (6.5), см. [123].