6.2.3. Некоторые вспомогательные преобразования, линеаризующие исследуемую парную зависимость.

Часто при рассмотрении парных корреляционных полей ни линейная, ни полиномиальная регрессия не дают желаемой точности приближения. В этих случаях приходится обращаться к другим видам зависимостей: гиперболической, степенной, показательной и др. Покажем, что в ряде ситуаций эти зависимости оказываются не менее удобными, чем линейная, поскольку легко к ней сводятся.

Так, в примере В.2 при исследовании зависимости между долговечностью образцов N и величиной соответствующего эксплуатационного напряжения v роль зависимой переменной играет величина , а аргумента — . Поэтому, исследуя линейную зависимость между мы в действительности исследуем соотношение степенного вида между исходными переменными N и , а именно зависимость вида где — некоторые постоянные величины, две из которых подбираются с помощью метода наименьших квадратов (см. гл. 7).

Перейти от степенной зависимости к линейной нам позволило логарифмическое преобразование переменных.

Какие же функциональные зависимости поддаются линеаризации, каковы их основные свойства, геометрическая интерпретация? С помощью каких преобразований переменных сводятся они к линейному виду?

Итак, пусть — исходные переменные (соответственно функция и аргумент), связь между которыми подлежит статистическому исследованию. И пусть между ними существует зависимость

где — случайная зависимая переменная, — аргумент (случайный или неслучайный), — некоторая функция от — так называемая остаточная случайная величина, характеризующая разброс случайных значений около функции , которая в самом общем случае может зависеть (стохастически) и от , и от Поскольку математическое ожидание остаточной случайной величины , при любых равно нулю, то из (6.6) следует, что условное среднее связано с соотношением .

Рассмотрим некоторые наиболее распространенные типы зависимостей и способы их линеаризации.

Зависимости гиперболического типа (рис. 6.3, 6.4, 6.5)

Этот тип кривых (рис. 6.3) характеризуется двумя асимптотами (прямыми, к которым график функции неограниченно приближается, не достигая их): горизонтальной и вертикальной , а также параметром искривления b. С помощью преобразования независимой переменной (т. е. перехода к новому аргументу) эта зависимость приводится к линейному виду ;

В этом случае имеются две асимптоты: (рис. 6.4). Параметр, характеризующий искривление, равен

Рис. 6.3. График гиперболической зависимости вида

Зависимость линеаризуется с помощью перехода к новой зависимой переменной (для выборочных значений

Рассматриваемые кривые (рис. 6.5) имеют горизонтальную асимптоту вертикальную асимптоту и характеристику искривления, равную —

Рис. 6.4. График гиперболической зависимости вида : а) случай ; б) случай

Рис. 6.5. График гиперболической зависимости вида : а) случай «положительного» исправления б) случай «отрицательного» исправления

С помощью перехода к переменным кривые приводятся к линейному виду.

Зависимости показательного типа (рис. 6.6, 6.7, 6.8)

Кривые (рис. 6.6) проходят через точку , причем ось х является их горизонтальной асимптотой. Если вместо (соответственно ) в качестве зависимой переменной рассмотреть величину (соответственно ), то данная зависимость преобразуется к линейному виду в котором

При кривая (рис. 6.7, а) имеет горизонтальную асимптоту и вертикальную асимптоту х = 0.

Рис. 6.6. График показательной (экспоненциальной) зависимости вида : а) случай ; б) случай

При (рис. 6.7, б) кривая проходит через начало координат, имеет так называемую «точку перегиба» и горизонтальную асимптоту . Переход к переменным (соответственно ) и позволяет линеаризовать и эту зависимость, причем в преобразованном виде параметр

Рис. 6.7. График показательной (экспоненциальной) зависимости вида случай ; б) случай

Частный случай так называемой «логистической» кривой показан на рис. 6.8. Кривая имеет две горизонтальные асимптоты и «точку перегиба» . Линеаризация этой зависимости производится с помощью перехода к новым переменным (соответственно )

Зависимости степенного типа (рис. 6.9)

Рис. 6.8. График логистической кривой, описываемой уравнением вида

Рис. 6.9. График степенной зависимости вида

а) случай ; б) случай

Все кривые на рисунке проходят через точку (1, А), причем если то они проходят еще и через начало координат — точку (0, 0), а если , то координатные оси являются одновременно асимптотами. Перейдя к новым переменным (соответственно ) мы преобразуем исследуемую зависимость к линейному виду.

Зависимости логарифмического типа (рис. 6.10)

Кривые на рисунке проходят через точку (1, а!) и имеют в качестве вертикальной асимптоты ось у (т. е. Переход к линейному виду зависимости осуществляется с помощью логарифмического преобразования аргумента:

Рис. 6.10. График логарифмической зависимости вида :а) случай ; б) случай

Замечание. Линеаризация связей с помощью преобразования исследуемых переменных имеет недостаток. Оценки параметров а и полученные затем (после линеаризации) с помощью метода наименьших квадратов, на самом деле не минимизируют сумму квадратов отклонений для исходных переменных х. Они лишь минимизируют сумму квадратов отклонений преобразованных значений зависимой переменной от соответствующей регрессионной прямой , т. е. квадратичную форму

а это не одно и то же. Предлагается поэтому производить определенную «доводку», уточнение оценок неизвестных значений параметров, полученных с помощью линеаризации связей [10, с. 172].