14.3. Рекурсивные системы

Среди систем одновременных уравнений наиболее простыми являются рекурсивные системы, для оценивания коэффициентов которых можно применять обыкновенный метод наименьших квадратов.

Система одновременных уравнений

(14.18)

называется рекурсивной, если выполнены следующие условия:

1) матрица В является нижней треугольной матрицей, т. е. при

2) ковариационная матрица возмущений диагональна:

3) каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению.

Предложение 3. Пусть и матрица 2 невырождена, т. е. при . Тогда структурная форма рекурсивной системы идентифицируема.

Доказательство. Пусть — две эквивалентные структуры. Согласно предложению 2 существует матрица D, такая, что

(14.19)

Матрица представляет собой нижнюю треугольную матрицу с единицами на главной диагонали. Такой же будет и матрица Из второго равенства в (14.19) вытекает, что следовательно, и когда

Значит, D — единичная матрица; структуры S и S совпадают, что и требовалось доказать.

Покажем, что процедура оценивания коэффициентов структурной формы рекурсивной системы методом наименьших квадратов, примененным к отдельному уравнению, приводит к состоятельным оценкам.

Запишем уравнения рекурсивной системы для всех периодов наблюдений в следующем виде:

(14.20)

где — матрица, состоящая из первых столбцов матрицы Y, которая вместе с X была введена в (14.7), Оцениванию подлежит вектор коэффициентов

Будем предполагать, что выполнены следующие условия

a) ;

в)

где — невырожденная матрица.

Предложение 4. При выполнении условий а) и в) мнк-оценка параметра для (14.20) состоятельна. Доказательство. Прежде всего покажем, что

(14.21)

Транспонируем равенство (14.8), умножим его затем слева на , а справа на Переходя к пределу по вероятности при и пользуясь условием а), получаем в результате, что

(14.22)

Матрица диагональна, — нижняя треугольная матрица, поэтому — также нижняя треугольная матрица. Следовательно, равенство (14.22) влечет (14.21).

Соотношение (14.21) показывает, что случайное возмущение в уравненйи не коррелирует в пределе с эндогенными переменными, входящими в это уравнение. Поэтому для уравнения с точки зрения оценивания переменные ничем не отличаются от предопределенных переменных, что и приводит к состоятельности оценки наименьших квадратов, которая здесь имеет вид

Ясно, что поскольку в силу а), в) и (14.21)

Доказательство завершено.

Указанные выше привлекательные свойства рекурсивных систем вызывают желание использовать именно их в эконометрических исследованиях. К тому же можно привести аргументы в пользу того, что реальные экономические системы являются рекурсивными по своей природе.

Например, многие экономисты считают модель примера 14.1 несовершенной. Действительно, трудно представить себе рынок, где равновесные цены и спрос формировались бы одновременно. Реалистичнее выглядит следующая ситуация. Цены в день t устанавливаются в зависимости от объема продаж в предыдущий день, в то время как покупки в день t зависят от цены товара в день

Математическая формализация приводит к системе

где случайные возмущения можно считать независимыми, т. е. к рекурсивной системе.

Необходимость рассматривать системы, отличные от рекурсивных, возникает в связи с тем, что исследователь обычно располагает некоторыми усредненными (агрегированными) данными. Например, данные о рыночной конъюнктуре могут быть усреднены по недельным или месячным периодам. Предположим, что известны величины: — средняя цена за неделю t и — средний объем ежедневных продаж за неделю t. Если считать время реакции рынка, как и раньше, равным одному дню, то соотношение вряд ли можно признать разумным. В этой ситуации рассмотренная в § 14.1 модель представляется более естественной.