2.2.4. Статистические свойства выборочных характеристик парной ранговой связи.

До сих пор речь шла о выборочных характеристиках ранговой связи. Попробуем ответить на вопрос: как точно эти выборочные характеристики (определенные, в частности, формулами (2.3)-(2.8)) оценивают соответствующие истинные (теоретические) значения?

Для этого в первую очередь следует пояснить, что в данном случае понимается под теоретическими характеристиками.

Представим себе сначала конечную генеральную совокупность, состоящую из N объектов , каждый из которых снабжен двумя порядковыми номерами: , где означает место объекта О в общем ряду всех N объектов, упорядоченном по степени выраженности свойства Будем полагать, что статистически обследованное множество объектов образуется как случайная выборка объема взятая из совокупности

Определим теоретические (истинные) значения коэффициентов соответственно теми же соотношениями (2.3) (или (2.5)), (2.6) (или 2.6')) и (2.10), что и выборочные с заменой объема выборки объемом генеральной совокупности N. При работе с выборкой производится естественная перенумерация объектов и их рангов, не меняющая их упорядоченности в генеральной совокупности ни по одной из переменных.

В дальнейшем нас будет интересовать, как сильно могут отличаться выборочные значения от соответствующих теоретических, в том числе в так называемых асимптотических ситуациях, т. е. при

Проверка статистически значимого отличия от нуля ранговых корреляционных характеристик (т. е. проверка гипотезы , см. соотношения (2.1)) осуществляется при «не слишком малых» (т. е. при при заданном уровне значимости критерия а с помощью проверки неравенств

в которых как и прежде, -ные точки соответственно и нормального распределения (см. табл. П.6 и П.3). Выполнение неравенств (2.11) и (2.12) сигнализирует о необходимости отвергнуть гипотезу т. е. о наличии статистически значимой ранговой корреляционной связи. В случае небольших объемов выборок () статистическая проверка гипотезы об отсутствии ранговой корреляционной связи производится с помощью табл. П.9 и П. 10.

Таблица П.9 позволяет при малых построить то пороговое значение при превышении которого (по абсолютной величине) коэффициентом Спирмэна следует признать наличие статистически значимой связи между анализируемыми переменными. Задавшись уровнем значимости критерия а и числом сравниваемых объектов , определяем из таблицы величину соответствующую нашему и значению (или приблизительно равному ). Тогда

где (значения этой вспомогательной константы приведены в последней строке таблицы).

Так, в примере 2.1 для уровня значимости имеем: так что в соответствии с (2.13)

Поскольку выборочное значение рангового коэффициента корреляции Спирмэна в этом примере значительно превосходит пороговое значение то гипотеза об отсутствии корреляционной связи отвергается.

И наконец, в табл. П. 10 приведены значения вспомогательных величин позволяющих вычислить (при малых то пороговое значение , при превышении которого (по абсолютной величине) коэффициентом Кендалла следует признать наличие статистически значимой связи между анализируемыми переменными. Для этого поступают следующим образом: задавшись объемом выборки и уровнем значимости критерия а, находят в столбце, соответствующем данному величину, равную (или приблизительно равную) затем находят значение в левом столбце той же самой строки и вычисляют по формуле

Если окажется, что , то гипотеза об отсутствии ранговой корреляционной связи отвергается (связь статистически значима).

Так, в примере 2.1 при уровне значимости имеем: следовательно, (оно лежит между 21 и 23), так что

Поскольку делается вывод о наличии статистически значимой корреляционной связи между исследуемыми переменными в данном примере.

Построение доверительных интервалов для неизвестных истинных значений ранговых коэффициентов корреляции возможно лишь приближенно и только при измерении ранговой корреляции с помощью коэффициента Кендалла. При этом испбльзуют (при и значениях не слишком близких по абсолютной величине к единице) приближенный факт нормальности распределения величины со средним значением и с дисперсией не превышающей величины Можно утверждать, что с доверительной вероятностью, не меньшей заданного уровня Р, истинное значение коэффициента Кендалла заключено в пределах

где — -квантиль стандартного нормального распределения (см. табл. ).