13.4. Модели дисперсионного анализа со случайными факторами

13.4.1. Место моделей со случайными факторами.

В ряде экспериментов, проводимых по схеме дисперсионного анализа, значения, которые принимает некоторый фактор, нельзя охарактеризовать ничем, кроме того, что они «наудачу» извлечены из некоторой генеральной совокупности. В этом случае вряд ли целесообразно связывать с индивидуальными значениями фактора числовые характеристики их вклада в общий итог , а лучше оценить вклад фактора в целом в общую изменчивость у. В этом случае, как указано в § 13.1, и возникают модели со случайными факторами. При этом, если окажется, что вклад фактора в общую изменчивость достаточно велик, то целесообразно из профессиональных содержательных соображений найти характеристики значений фактора, предположительно связанные с у, и изучить с помощью традиционного анализа их влияние на итог. Так, если нас интересует влияние личности рабочего на его производительность труда, то здесь целесообразна случайная выборка среди всех рабочих, заня однотипным трудом, и использование модели со случайным фактором — влиянием личности рабочего.

Если же нас интересует различие в производительности труда рабочих с различным уровнем образования, то целесообразно разбить рабочих на группы по уровню образования и взять для сравнения по нескольку человек из каждой группы. Здесь больше подходит смешанная модель вида

(13.22)

где — производительность в день рабочего с уровнем образования; — среднее значение производительности труда; — постоянная, отражающая влияние уровня образования — случайный фактор, характеризующий отклонение от общего среднего производительности труда рабочего из группы с уровнем образования — случайное колебание в производительности труда в день эксперимента этого рабочего.

Другой пример. При изучении воспроизводимости химических анализов часто говорят о средней межлабораторной ошибке [95]. В этом термине различные лаборатории рассматриваются как случайные, наудачу выбранные из совокупности лабораторий какой-либо отрасли. Для оценки этой ошибки подходит модель со случайным фактором — названием лаборатории. Если же лаборатории можно классифицировать по какому-нибудь доступному и существенному для точности анализов признаку, например по уровню оснащения современным оборудованием, то межлабораторную ошибку целесообразно определять отдельно внутри однородных по этому признаку классов. В частности, можно использовать модель вида (13.22), в которой первый фактор соответствует уровню оснащения лаборатории современным оборудованием, а второй фактор отражает условный номер лаборатории среди однотипных по оборудованию лабораторий.

В модели (13.22) мы встретились с так называемым иерархическим или группированным, или, как еще говорят, гнездовым планом, в котором каждому уровню первого фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора

13.4.2. Однофакторный анализ.

Простейшая математическая модель имеет вид

(13.23)

где — постоянная; — случайная составляющая, отражающая влияние выборочного значения фактора ; — случайная ошибка; случайные величины независимы в совокупности и

Поскольку величины называют компонентами дисперсии (наблюдения).

Модель (13.23) существенно отличается от близкой модели с постоянными факторами (13.2). В ней: 1) все наблюдения имеют одинаковые математические ожидания и 2) наблюдения не являются статистически независимыми. В частности, положительно коррелированы наблюдения соответствующие одному и тому же значению изучаемого фактора. Соответствующий коэффициент корреляции, равный называют коэффициентом внутриклассовой корреляции.

Основная проверяемая гипотеза

(13.24)

где — заданная константа. Определим так, как указано в табл. 13.1, и построим -отношение (13.5). Статистический критерий для проверки гипотезы (13.24) имеет мощность, выражающуюся только через центральное -распределение [148],

(13.25)

Точечные оценки для компонент дисперсии

Одна из трудностей дисперсионного анализа со случайными факторами состоит в том, что для негауссовских распределений среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонения уже не являются устойчивыми оценками параметров положения и масштаба [14, п. 10.4.4]. Для того чтобы обойти эту трудность, в однофакторном случае может быть рекомендована следующая приближенная процедура:

1) для каждой (по i) серии наблюдений вычислить устойчивые оценки положения и масштаба. Обозначить их у и

2) заменить исходные серии наблюдений на

(здесь — -квантиль стандартного -распределения).

3) провести с наблюдениями обычный дисперсионный анализ по описанным выше формулам.

13.4.3. Иерархический план на двух уровнях.

В качестве примера рассмотрим сначала описанную, в п. 13.4.1 задачу по определению точности проведения химического анализа в лабораториях какой-либо отрасли промышленности. Предположим, что все лаборатории отрасли могут быть разбиты на группы, примыкающие к городам, в которых есть метрологические центры по данному виду анализа. Эксперимент состоит в том, что сначала наудачу выбирается несколько метрологических центров (городов), а затем для каждого из выбранных центров также наудачу отбирается несколько из примыкающих к нему лабораторий, и в каждой из лабораторий проводится несколько повторных определений одного и того же образца. Простейшая математическая модель для рассматриваемого иерархического плана с двумя случайными факторами имеет вид

(13.27)

где — результат анализа в лаборатории, примыкающей к городу; — истинная (обычно неизвестная) определяемая концентрация; — эффект метрологического центра; — эффект лаборатории центра и — случайная ошибка повторения анализа в лаборатории центра; величины взаимно независимы и нормально распределены с нулевыми средними и дисперсиями соответственно.

Разложение общей суммы квадратов на части, соответствующие рассматриваемой модели, показано в таблице ДА для иерархического плана с двумя случайными факторами (табл. 13.4).

F-критерии для гипотез строятся с помощью соответствующих отношений средних квадратов. Например, для проверки ; используется отношение которое в случае, когда гипотеза верна, имеет распределение. В рассматриваемом случае имеет смысл и оценка суммы которая является характеристикой воспроизводимости анализа в случайно выбранной лаборатории.

В заключение рассмотрим иерархическую смешанную модель (13.22). В дополнение к сделанным выше (п. 13.4.1) предположениям допустим, что взаимно независимы,

Таблица 13.4

В этом случае таблица дисперсионного анализа для модели (13.22) получается из табл. 13.4 путем замены в первой строке на на