7.2.3. Функции потерь, имеющие горизонтальную асимптоту.

Предложены три семейства функций, специально рассчитанных на асимметричные отклонения функции распределения ошибок от нормального закона. В унифицированных обозначениях в условиях, когда дисперсия основной (незасоренной) части распределения регрессионных остатков известна и равна единице, они могут быть приведены к виду (ниже параметр к ):

функция потерь Андрюса [156]:

функция потерь Мешалкина [89]:

функция потерь Рамсея [243]:

Все три функции при стремятся к , т. е. переходят в обычную квадратичную функцию потерь, используемую в мнк. При они имеют горизонтальную асимптоту, равную Взаимное расположение этих функций для двух значений параметров показано на рис. 7.1.

Так же, как при использовании в практической работе с этими функциями приходился выбирать значение параметра (настраивать на определенный уровень отклонения от нормальности) и одновременно оценивать и а. При этом возникают дополнительные по сравнению с трудности интерпретационного плана, связанные как с отсутствием выпуклости у новых функций, так и с сильным подавлением больших отклонений. Для иллюстрации сказанного рассмотрим пример. Пусть случайная величина дискретна, принимает всего два значения и . Несмотря на симметричность распределения относительно нуля , причем минимум достигается по крайней мере в двух различных точках. Это обстоятельство связано с локальной вогнутостью в окрестности возможных значений . Аналогичное утверждение имеет место и для .

В случае когда распределение (в общем случае не обязательно симметричное) сравнительно мало отличается от нормального закона для всех трех функций ), т. е. значение b, при котором достигается минимум , единственно и мало отличается от центра соответствующего нормального закона. Но оно, конечно, зависит от выбора функции и от значения . Поэтому вопрос о содержательной интерпретации а остаётся актуальным.

Рис. 7.1. Сравнение трех функций потерь при различных значениях X

В [14, п. 10.4.6) такая интерпретация описана для функции (эв-оценки). По-видимому, аналогичная теория может быть построена и для , но несколько удобнее в аналитическом отношении, особенно в многомерном случае.

Вместе с тем вопрос, насколько распределение должно быть близко к нормальному закону для того, чтобы существовало только одно значение а, при котором достигается минимум , пока не исследован достаточно подробно.

Было бы интересно сравнить оценки параметров, получаемые с помощью между собой в различных ситуациях. Но для этого требуется дальнейшее развитие теории устойчивого оценивания. Дело в том, что модель независимой выборки растущего объема из фиксированного распределения использованная Хубером, в которой

где Ф — функция нормального распределения, а Н — функция распределения произвольного симметричного относительно нуля закона не очень подходит как из-за симметрии Я, так и из-за того, что асимптотика, в которой q к Н фиксированы, а объемы выборки не вполне адекватна статистической практике: с ростом объема выборки мы узнаем с возрастающей точностью и в принципе могли бы путем преобразования переменных усилить близость распределения к нормальному закону. Более адекватной моделью засорения является схема последовательности серий выборок растущего объема, в которой пропорция засорения убывает с ростом [149, 215 и 14, п. 6.1.11].