1.2.2. Частные коэффициенты корреляции и их выборочные значения.

Поставим в соответствие каждой из ранее введенных парных характеристик статистической связи между переменными и частную («очищенную») характеристику, определяемую по той же формуле, но только для условного распределения [14, гл. 5]. Здесь — это функция плотности вероятности (если непрерывны) или полигон вероятностей (если дискретны); — множество переменных, дополняющих пару до полного набора рассматриваемых (наблюдаемых) переменных в — -мерный вектор, определяющий заданные уровни, на которых фиксируются значения «мешающих» переменных

Есть два взаимосвязанных обстоятельства, которые препятствуют широкому практическому использованию частных характеристик статистической связи в общем случае: частные характеристики статистической связи, вообще говоря, зависят от заданных уровней х мешающих переменных (как их выбирать в каждом конкретном случае?);

для подсчета выборочных значений частных характеристик статистической связи необходимо иметь выборку специальной структуры, обеспечивающей наличие хотя бы нескольких наблюдений при каждом из заданного ряда фиксированных значений х мешающих переменных.

Можно, однако, показать (см., например, [20, 651), что если исследуемые случайные переменные подчиняются многомерному нормальному закону (см. [14, п. 6.1.51), то указанные неудобства автоматически исчезают, так как в этом случае частные коэффициенты корреляции не зависят от уровней мешающих переменных определяющих условие в соответствующем условном распределении. В частности, имеет место следующая формула (при условии невырожденности (р -мерного нормального закона):

где — частный коэффициент корреляции между

ременными при фиксированных значениях всех остальных переменных a — алгебраическое дополнение для элемента в определителе корреляционной матрицы R анализируемых признаков , т. е. в определителе

Формула (1.22), примененная к трехмерному признаку при дает:

Последовательно присоединяя к мешающим переменным все новые признаки из рассматриваемого набора, можно получить рекуррентные соотношения для подсчета частных коэффициентов корреляции порядка k (т. е. при исключении опосредованного влияния k мешающих переменных) по частным коэффициентам корреляции порядка :

Выборочные (эмпирические) значения частных коэффициентов корреляции вычисляются по тем же формулам (1.22)- (1.23) с заменой теоретических значений парных коэффициентов корреляции их выборочными аналогами (см. формулу (1.8)).

Если исследователь имеет дело лишь с тремя-четырьмя переменными то удобно пользоваться рекуррентными соотношениями (1.23). При больших размерностях анализируемого многомерного признака удобнее опираться на формулу (1.22), использующую расчет соответствующих определителей.

Вернемся к общему (негауссовскому) случаю. Практика многомерного статистического анализа показала, что частные коэффициенты корреляции, определенные соотношениями (1.22)-(1.23), являются, как правило, удовлетворительными измерителями очищенной линейной связи между при фиксированных значениях остальных переменных и в случае, когда распределение анализируемых показателей отличается от нормального. Определив с помощью формулы (1.22) частный коэффициент корреляции в случае любого исходного распределения признаков включим его в общий математический инструментарий корреляционного анализа линейных моделей. При этом их можно интерпретировать как показатели тесноты очищенной связи, усредненные по всевозможным значениям фиксируемых на определенных уровнях «мешающих» переменных.