14.4. Двух- и трехшаговый методы наименьших квадратов

14.4.1. Наиболее распространенные методы оценивания системы одновременных уравнений.

Формальное применение мнк для получения оценок коэффициентов системы одновременных уравнений приводит, вообще говоря, к оценкам с плохими статистическими свойствами — смещенным и несостоятельным. Поэтому область его применения ограничена рекурсивными системами. Для оценивания параметров точно идентифицируемой системы можно применить косвенный метод наименьших квадратов, состоящий в оценивании обычным мнк коэффициентов приведенной формы и подстановке оценок в выражения для коэффициентов структурной формы через коэффициенты приведенной формы, что приводит к смещенным, но состоятельным оценкам.

В случае сверхидентифицируемости косвенный метод наименьших квадратов, как отмечалось в

14.2, не применим.

Для оценивания произвольных систем одновременных уравнений в настоящее время имеется довольно значительное количество методов, которые делятся на две группы. К первой группе относятся методы, применимые к каждому уравнению в. отдельности: двухшаговый метод наименьших квадратов (2 мнк), метод максимума правдоподобия с ограниченной информацией, называемый также методом наименьшего дисперсионного соотношения [46] или методом Комиссии Коулса [80], и некоторые другие. Вторая группа содержит методы, предназначенные для оценивания всей системы в целом. Это методы максимума правдоподобия и трехшаговый метод наименьших квадратов (3 мнк). Несколько особняком стоят итеративные методы, или методы неподвижной точки, которые обладают определенными вычислительными достоинствами, что немаловажно при исследовании систем большой размерности, однако статистические их свойства изучены в недостаточной степени.

14.4.2. Двухшаговый метод наименьших квадратов.

Наиболее важным методом оценивания отдельного уравнения системы, получившим широкое распространение, является двухшаговый метод наименьших квадратов. Он дает состоятельные, вообще говоря, смещенные оценки коэффициентов, является достаточно простым с теоретической точки зрения и удобен для вычислений.

Запишем интересующее нас уравнение (для определенности, первое системы (14.4)) в виде

(14.23)

где — вектор наблюдений над переменной — матрица наблюдений над другими текущими значениями эндогенных переменных, входящих в уравнение; Р — вектор размерности структурных коэффициентов, относящихся к переменным из матрицы — матрица порядка наблюдений над предопределенными переменными, входящими в уравнение; у — вектор размерности коэффициентов, относящихся к переменным из матрицы ; — вектор случайных возмущений, имеющий размерность

Рассмотрим часть приведенной формы, состоящую из уравнений, которые выражают эндогенные переменные, входящие в правую часть (14.23), через предопределенные переменные системы:

(14.24)

Пусть — мнк-оценка матрицы , т. е.

где — матрица наблюдений над предопределенными переменными, не входящими в (14.23).

Положим

(14.25)

Тогда уравнение (14.23) может быть записано в следующем виде:

(14.27)

где

Применим к (14.27) метод наименьших квадратов. В результате для вектора неизвестных коэффициентов б получаем оценку

которая в исходных переменных имеет вид

Эта оценка и носит название оценки двухшагового метода наименьших квадратов параметров .

Таким образом, существо двухшагового метода состоит в замене матрицы расчетной матрицей после чего искомые коэффициенты вычисляются обыкновенной регрессией у на и X.

Далее мы будем предполагать, что матрица состоит из наблюдений за эндогенными переменными с номерами матрица — из наблюдений за предопределенными переменными с номерами 1, k (этого можно добиться изменением нумерации).

Теперь введенные выше обозначения согласуются с обозначениями 14.1, 14.2, причем

а первая строка матрицы имеет вид

(для уравнения (14.23) мы имеем только исключающие ограничения).

Пусть — единичная матрица — нулевая матрица порядка Рассмотрим -матрицу

Лемма 1. Пусть уравнение (14.23) идентифицируемо. Тогда

Доказательство. Из (14.14) вытекает, что является единственным решением системы уравнений

где ) — вектор длины ; Ф — матрица, с помощью которой записаны соответствующие исключающие ограничения: . Значит, , и все строки линейно независимы. Линейная независимость строк с номерами влечет утверждение леммы.

Предложение 5. Пусть уравнение (14.23) идентифицируемо и выполнены следующие условия:

а)

б)

где — невырожденная матрица.

Условие а) всегда выполнено в силу закона больших чисел, когда детерминированы. Тогда 2 мнк-оценка состоятельна.

Доказательство. Из (14.25)-(14.27) следует, что

В силу предположений а) и в)

(14.29)

поэтому

Следовательно,

и нам осталось показать только, что является невырожденной матрицей.

Имеем в силу условия б) и соотношения (14.29), что

и невырожденность вытекает из леммы 1 и известного свойства положительно определенных матриц.

14.4.3. Трехшаговый метод наименьших квадратов.

Этот метод применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и возмущения каждого структурного уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы возмущений. После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Приведем формальное описание трехшагового мнк. Для этого рассмотрим систему одновременных уравнений, содержащую G эндогенных и К предопределенных переменных, которые будем считать нестохастическими. Запишем уравнение в виде

(14.30)

где — вектор, образованный из наблюдений над зависимой переменной с номером — матрица порядка составленная из наблюдений за остальными эндогенными переменными, входящими в это уравнение; X — матрица порядка наблюдений над предопределенными переменными уравнения.

В обозначениях

уравнение системы переписывается следующим образом:

(14.31)

Если X - матрица порядка , образованная из наблюдений за всеми предопределенными переменными, то

(14.32)

Ковариационная матрица возмущений имеет

где — дисперсия случайного возмущения, испытываемого уравнением исходной системы.

Применяя к (14.32) обобщенный метод наименьших квадратов, получаем оценку

вектора коэффициентов которая, как нетрудно убедиться, совпадает с 2 мнк-оценкой для (14.30).

Запишем все уравнения (14.32) в следующей форме:

(14.33)

Если бы матрица ковариаций S была известна, то формальное применение обобщенного метода наименьших квадратов к (14.33) привело бы к оценке параметров системы, содержащей матрицу ковариаций вектора возмущений

Идея трехшагового метода наименьших квадратов состоит в использовании вместо 2 ее оценки , где

В результате приходим к искомой 3 мнк-оценке

которая после упрощений может быть записана в виде

где — элементы матрицы

В случае, когда матрица не является диагональной, т. е. когда одновременные возмущения, входящие в различные структурные уравнения, зависимы, трехшаговая процедура имеет лучшую асимптотическую эффективность по сравнению с двухшаговой.