Динамические задачи, обычно называемые «интегрируемыми», представляют собой проблемы интранзитивного типа, в которых движения представлены кривыми, лежащими на инвариантных аналитических многообразиях одного или двух измерений в многообразии $M$. Например, в случае проблемы двух тел все движения будут периодическими и упомянутые инвариантные многообразия в $M$ будут представлять собою замкнутые кривые. В интегрируемых случаях (см. § 12,13 ) специальные аналитические соотношения достаточны для того, чтобы дать полное представление о движениях и об их взаимоотношениях.

Любая неинтегрируемая проблема транзитивного типа может, однако, считаться «решенной», если для нее можно указать специальный алгоритм, достаточно могущественный для разрешения всех вопросов о типах и распределении движений.

Я собираюсь в этом параграфе построить такой алгоритм для транзитивной геодезической проблемы на специальной аналитической поверхности отрицательной кривизны. Представляется весьма вероятным, что полученные здесь результаты окажутся типичными во многих отношениях для общего случая транзитивной проблемы; эти результаты легко обобщить на случай любой замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны. Мы можем дать здесь только интуитивное обоснование полученных результатов. Что же касается техники, то мы можем отослать читателя к замечательным работам Адамара $^{1}$ и Морса $^{2}$, методы и идеи которых играют главную роль в рассматриваемом здесь построении.

Представляется маловероятным, чтобы какой-нибудь подобный алгоритм существовал для геодезической проблемы на замкнутой аналитической поверхности положительной кривизны.

Поверхность, которую мы будем в дальнейшем рассматривать, определяется уравнением:
\[
z^{2}=1-e^{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} x \sin ^{2} \frac{1}{2} y \quad(e>1),
\]

где $x, y, z$ – прямоугольные координаты точки, причем мы условимся
${ }^{1}$ Hadamard, «Les surfaces à courbures opposées et leur lignes géodesiques», Journ. de Math., ser. 5, vol. 4, 1898.
${ }^{2}$ Morse, «Recurrent geodesics on a Surface of Negative Curvature, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 22, 1921 и «A Fundamental Class of Geodesics on Any Closed Surface of Genus Greater Than One», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 26, 1924.

считать, что все точки
\[
(x \pm 2 k \pi, y \pm 2 l \pi) \quad(k, l=0,1,2, \ldots)
\]

соответствуют одной и той же точке на нашей поверхности. Это соглашение законно, потому что линейная группа параллельных переносов
\[
\bar{x}=x \pm 2 k \pi, \quad \bar{y}=y \pm 2 l \pi, \quad \bar{z}=z
\]

переводит нашу поверхность в себя. Основной областью изменения $x, y$ будет тогда квадрат, определяемый неравенствами
\[
0 \leqslant x<2 \pi, \quad 0 \leqslant y<2 \pi .
\]

уравнение поверхности можно переписать в виде
\[
\sin ^{2} \frac{1}{2} x \sin ^{2} \frac{1}{2} y=\frac{1-z^{2}}{e^{2}} .
\]

Следовательно, при любом $z_{0}$, таком, что $\left|z_{0}\right|<1$, след данной поверхности на плоскости $z=z_{0}$ будет состоять из выпуклого, симметричного, аналитического овала, лежащего внутри основного квадрата и имеющего свой центр симметрии в центре этого квадрата. Когда $z_{0}$ возрастает по абсолютной величине, этот овал аналитически расширяется, а при $z_{0}= \pm 1$ превращается в основной квадрат. Легко убедиться непосредственно или на основании вышеприведенных качественных рассуждений, что эта поверхность всюду аналитическая и имеет отрицательную кривизну везде, кроме точек поверхности, соответствующих сторонам ограничивающих квадратов и $z= \pm 1$.

Связность этой замкнутой поверхности легко определить. Если мы возьмем ее верхнюю половину $z \geqslant 0$ и присоединим к ней внутренность экваториального овала, то убедимся, что верхняя половина нашей поверхности гомеоморфна поверхности тора с одним отверстием в ней. Нижняя половина будет, конечно, гомеоморфна верхней. Таким образом, вся наша поверхность гомеоморфна поверхности тора с ручкой, т. е. поверхности рода 2 .

Основное свойство такой поверхности отрицательной кривизны состоит в том, что любые две заданные точки $A, B$ могут быть соединены одной и только одной геодезической дугой $A B$ данного топологического типа.

Если мы применим полное изображение в пространстве $x, y, z$ при помощи бесконечного количества конгруентных экземпляров этой поверхности, то этот результат означает, что любая непрерывная линия на поверхности, соединяющая $A$ с $B$, может быть деформирована в единственную геодезическую дугу.

Рис. 9
Постараемся ввести символику, которая дала бы нам возможность изобразить тип любой дуги $A B$. Рассмотрим проекцию данной поверхности на экваториальную плоскость $z=0$. Эта проекция будет покрывать дважды всю плоскость, кроме частей, лежащих внутри каждого геодезического овала на экваториальной плоскости. На рис. 9 эти овалы изображаются кругами. Подобно этому, горизонтальные и вертикальные отрезки, принадлежащие сети квадратов, имеющих вершинами центры этих овалов, ющих вершинами центры этих овалов, ать замкнутым геодезическим линиям.

будут, очевидно, соответствовать замкнутым геодезическим линиям.
Предположим, что проекция точки $A$ лежит внутри какого-нибудь квадрата нашей сети и что же имеет место для точки $B$. Когда точка $P$ движется вдоль $A B$ от $A$ к $B$, ее проекция описывает непрерывную кривую на плоскости $x, y$. С другой стороны, если нам дана эта проекция и указано, в каких точках, лежащих на геодезических овалах, точка переходит с верхней половины поверхности (где $z>0$ ) на нижнюю $(z<0)$, то этим путь $A B$ полностью определен.

Пусть символ $x$ обозначает пересечение точкой $P$ вертикального отрезка нашей сети в направлении положительных $x$, а $x^{-1}$ – пересечение в противоположном направлении. Точно так же символами $y$ и $y^{-1}$ мы обозначим пересечение горизонтального отрезка соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси $y$. Далее, из какойнибудь точки внутри квадрата достижимы, не пересекая сторон квадрата, четыре квадранта геодезических овалов, а именно: в левом нижнем углу, правом нижнем углу, правом верхнем углу и левом верхнем углу квадрата. Обозначим соответствующие переходы через точки этих овалов в направлении положительных $z$ (т.е. с нижней стороны на верхнюю) через $w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}$ соответственно, а переходы в противоположном направлении через $w_{1}^{-1}, w_{2}^{-1}, w_{3}^{-1}, w_{4}^{-1}$ соответственно. Очевидно теперь, что всякая дуга $A B$ соответствует символу, образованному конечной комбинацией этих двенадцати символов, написанных в том же порядке, в каком встречаются соответственные пересечения. Обратно, если дан любой такой символ (ограниченный единственным условием, что за всяким $w_{i}$ будет следовать $w_{j}^{-1}$, и наоборот), то ему соответствует единственный (с точностью до непрерывных деформаций) путь. Причиной указанного ограничения является то, что точка $P$ движется из области $z<0$ в область $z>0$ и затем из области $z>0$ в область $z<0$.

Каждой допустимой деформации пути $A B$ (причем $A$ и $B$ остаются, разумеется, фиксированными) будет соответствовать некоторая модификация символа. Символы, получаемые друг из друга таким способом, можно назвать «эквивалентными». Совершенно очевидно, что необходимо найти условия эквивалентности двух систем и определить какую-нибудь нормальную форму для каждого класса эквивалентных символов.

Допустимые преобразования символов будут двух типов. Вопервых, мы можем вставить или исключить любую пару элементов вида $a a^{-1}$ или $a^{-1} a$, так как это соответствует деформации над овалом или отрезком. Во-вторых, мы можем заменить такой символ, как $w_{3} y$ на $y w_{2}$, или $w_{3}^{-1} y$ на $y w_{2}^{-1}$, или $w_{2} y^{-1}$ на $y^{-1} w_{3}$, или $w_{2}^{-1} y^{-1}$ на $y^{-1} w_{3}^{-1}$. Эти изменения будут представлять собою преобразования символа, когда точка $P$ дуги $A B$, лежащая на геодезическом овале, проходит при деформации через общую точку квадрантов $w_{2}$ и $w_{3}$ геодезического овала. Мы будем иметь подобные же преобразования в точке, общей квадрантам $w_{3}, w_{4}$, в точке, общей квадрантам $w_{4}, w_{1}$ и в точке, общей квадрантам $w_{1}, w_{2}$.

Для того, чтобы получить нормальную форму, мы уменьшаем число элементов в символе, насколько это возможно, следующими тремя способами. Во-первых, мы вычеркиваем всякую пару $a a^{-1}$ или $a^{-1} a$. Во-вторых, мы заменяем всякую тройку, подобную $\mathrm{w}_{2} y^{-1}$ на $w_{3}$; в самом деле, имеем:
\[
y w_{2} y^{-1}=w_{3}\left(y y^{-1}\right)=w_{3} .
\]

Для каждой из шестнадцати определенных выше операций второго типа существует по две соответствующие тройки вида $p w_{i} p^{-1}$ или $p w_{i}^{-1} p^{-1}$, где $p$ обозначает один из символов $x, x^{-1}, y, y^{-1}$; каждая из этих троек может быть заменена одним элементом $w_{j}$ или $w_{j}^{-1}$. В-третьих, мы заменяем всякую тройку, подобную $w_{3} y w_{2}^{-1}$ на $y$. Для каждой из шестнадцати операций второго рода будет также по две соответственные тройки этого типа, могущие быть замененными одной буквой $x, x^{-1}, y$ или $y^{-1}$.

После того, как это все проделано, мы везде, где только возможно, меняем порядок во всех парах, подобных $y^{-1} w_{3}$ (составленных из одного из элементов $x, x^{-1}, y, y^{-1}$, за которым следует $w_{i}$ или $w_{i}^{-1}$ ), так, чтобы элемент $w_{j}$ (или $w_{j}^{-1}$ ) был на первом месте. Так, например, $y^{-1} w_{3}$ заменяется на $w_{2} y^{-1}$.

Нормальную форму мы определим как такую, которая получится после того, как будут проделаны все эти преобразования. Мы хотим показать, что эта нормальная форма будет единственной. Для этой цели мы разделим взятый символ на несколько компонент, из которых каждая состояла бы либо только из элементов $x, x^{-1}, y, y^{-1}$, либо только из элементов $w_{j}, w_{i}^{-1}$. Например, для дуги $A B$ на чертеже символ будет, очевидно,
\[
x y x w_{2} y^{-1} w_{2}^{-1} w_{1} x^{-1} ;
\]

он уже имеет нормальную форму и делится на пять компонент:
\[
x y x, w_{2}, y^{-1}, w_{2}^{-1} w_{1}, x^{-1} .
\]

Мы будем доказывать для этого частного случая, что нормальная форма единственна, но метод доказательства будет, очевидно, совершенно общий. Первая компонента, очевидно, дает наименьшее число квадратов, которое может пройти проекция точки $P$, движущаяся от $A$ к $B$ вдоль пути этого типа, прежде чем она пересечет экваториальную плоскость. Следовательно, всякий другой нормальный символ для $A B$ должен иметь ту же первую компоненту. Подобно этому, вторая компонента указывает единственным образом наибольшее число переходов через плоскость $z=0$, которое может совершить точка $P$, оставаясь все время в одном квадрате и никогда не пересекая дважды одного и того же геодезического овала. В данном случае имеется только один элемент $w_{2}$ во второй компоненте. Следовательно, вторая компонента будет $w_{2}$ во всякой нормальной форме.

Вообще мы совершаем только необходимые переходы через стороны квадратов и геодезические овалы, причем эти последние производятся насколько возможно раньше. Такова будет геометрическая интерпретация операций, приводящих символ к нормальной форме, и это обстоятельство может послужить основой для доказательства единственности этой формы.

Условие, что какой-нибудь символ находится в нормальной форме, означает просто, что некоторые комбинации элементов не могут в нем встречаться. Этими недопустимыми комбинациями будут, очевидно, следующие:
\[
\begin{array}{c}
x x^{-1}, x^{-1} x, y y^{-1}, y^{-1} y, w_{i} w_{i}^{-1}, w_{i}^{-1} w_{i}(i=1,2,3,4) ; \\
x w_{1}, x w_{4}, x w_{1}^{-1}, \lambda w_{4}^{-1}, x^{-1} w_{2}, x^{-1} w_{3}, x^{-1} w_{2}^{-1}, x^{-1} w_{3}^{-1} \\
y w_{1}, \quad y w_{2}, y w_{1}^{-1}, y w_{2}^{-1}, y^{-1} w_{3}, y^{-1} w_{4}, y^{-1} w_{3}^{-1}, y^{-1} w_{4}^{-1}
\end{array}
\]

Бесконечный символ, соответствующий полной геодезической линии, будет, очевидно, обладать тем же свойством минимальности числа элементов, что и нормальный символ, так как геодезическая линия пересекает вспомогательные геодезические линии (стороны квадратов и геодезические овалы) наименьшее число раз. Мы будем называть этот
символ «приведенным символом». Буквы $x, x^{-1}, y, y^{-1}$ следуют друг за другом в приведенном символе в точности в том же порядке, что и в нормальном. Но точное положение элементов $w_{i}$ не может быть определено без более точного знания свойств данной поверхности, и оно будет различным для различных поверхностей того же общего типа.

Для приведенного символа точки пересечения геодезической линии с вспомогательными линиями могут быть ассоциированы с соответственными элементами символа, а промежуточные точки мы можем указывать, вставляя обыкновенное вещественное число $u(0<u<1)$ между двумя последовательными элементами $\alpha, \beta$, указывая этим, что точка $P$ лежит на дробной части $u$ пути от пересечения $\alpha$ до пересечения $\beta$ по геодезической дуге.

Таким образом, мы получаем символы для «состояния движения» в нашей проблеме, присоединяя число $u$ к полному приведенному символу. При непрерывном изменении состояния движения $u$ будет изменяться непрерывно (если его рассматривать как периодическую переменную периода один). Соответствующее изменение самого символа будет «непрерывным» в том смысле, что малое изменение состояния движения может вызвать лишь изменения в далеких элементах приведенного символа или же допустимые перестановки порядка последовательных элементов. Соответствующее изменение в нормальном символе будет, вообще говоря, тоже непрерывным, но здесь компоненту вида $w_{i} c c c \ldots$, где $c$ – данная группа элементов – нужно считать равной компоненте $c c c .$. Оба конца, очевидно, меняются непрерывно, но никакие другие изменения порядка не должны нигде иметь место в символе.

Мы можем теперь рассмотреть вопрос о типах движений и их взаимоотношениях.

Прежде всего, периодические движения, соответствующие замкнутым геодезическим линиям, находятся, очевидно, в одно-однозначном соответствии со всеми нормальными типами конечных символов, если мы два символа, не отличающихся круговым порядком элементов, будем считать за один. Два периодических движения, соответствующих двум направлениям, в которых может быть пройдена одна и та же геодезическая линия, отвечают соответственно некоторому конечному символу и тому же символу, взятому в обратном порядке. Нормальным символом для полной геодезической линии будет, очевидно, этот частичный символ, повторенный бесконечное множество раз. Так как этот частичный символ может быть выбран по произволу, то соответствующее периодическое движение мы можем выбрать сколь угодно близко от произвольного геодезического движения.

Множество периодических движений всюду плотно во множестве всех движений системы.

Далее рассмотрим движения, асимптотические в положительном направлении к данному периодическому движению. Для того, чтобы какое-нибудь движение было таковым, нормальный символ этого движения должен, разумеется, совпадать с символом периодического движения, начиная с некоторого места, и это условие является также достаточным. Для того, чтобы данное движение было асимптотическим к одному периодическому движению, определяемому конечным символом $p$ в отрицательном направлении, а к другому, определяемому символом $q$, в положительном, необходимо и достаточно, чтобы его символ повторял символ $p$, начиная с некоторого места влево, и символ $q$, начиная с некоторого места вправо. Промежуточная часть символа может быть выбрана по произволу. Если символы $p$ и $q$ совпадают, то мы определяем таким образом движение, двояко-асимптотическое к данному периодическому движению. Так как промежуточная часть произвольна, то движения каждого из этих типов всюду плотны, но их множество исчислимо.

Это рассуждение показывает, что существует, имеющее мощность континуума, семейство движений, положительно или отрицательно асимптотических к данному периодическому движению. Существует также бесконечное множество движений, положительно асимптотических к одному заданному периодическому движению и отрицательно асимптотических $\kappa$ другому заданному или тому же периодическому движению, и множество таких движений всюду плотно, хотя исчислимо.

И, вообще, если движение должно быть асимптотическим в данном направлении к какому-нибудь данному движению, то этим задается только один конец соответственного символа.

Подобное же заключение остается справедливым по отношению $\kappa$ движениям, асимптотическим к любым двум данным движениям.

Существуют также движения, полуасимптотические к данным движениям, которые хотя и не являются собственно асимптотическими к ним, но таковы, что их отклонения становятся все более и более редкими при безраничном возрастании (или убывании) времени.

Для того, чтобы построить соответствующий символ, мы должны просто написать такой нормальный символ, который в одном направлении состоит все в большей и большей мере из повторений символа одного из данных движений, в то время как в другом направлении он составлен подобно этому, главным образом, из компонентов символа второго данного движения.
Перейдем теперь к рекуррентным движениям непериодического типа. Очевидно, что соответствующий нормальный символ характеризуется тем свойством, что каково бы ни было целое положительное число $n$, мы можем найти настолько большое целое число $N$, что любая встречающаяся в нашем символе последовательность $n$ знаков встретится по крайней мере однажды во всякой последовательности $N$ знаков символа. Морс (цитировано выше) дал особый метод построения такого символа.

Существует, вероятно, целая иерархия таких рекуррентных движений, зависящих (в отношении степени сложности соответственных символов) от характера изменения $N$ в зависимости от $n$. Здесь я хочу только указать один метод, который может привести к обнаружению рекуррентных движений непериодического типа для рассматриваемой системы. Пусть $f\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right)$ будет любая функция, аналитическая и периодическая периода 1 , относительно своих $p$ аргументов $x_{1}, \ldots, x_{p}$ ( $p>1$ ). Если $c_{1}, \ldots, c_{p}$ суть $p$ количеств, не связанных между собою никакими линейными соотношениями с целыми коэффициентами, то $f\left(c_{1} \lambda, \ldots, c_{p} \lambda\right)$ будет квазипериодической функцией от $\lambda$. Обозначим теперь символом $a$ наименьший положительный вычет по модулю $q$ целой части числа $a$, так что $a$ есть одно из целых чисел $0,1, \ldots, q-1$. Функция $f\left(c_{1} \lambda, \ldots, c_{p} \lambda\right)$, если мы будем подставлять вместо $\lambda$ целые числа, даст нам бесконечную в обе стороны последовательность, состоящую из целых чисел $0,1, \ldots, q-1$, обладающую требуемым характеристическим свойством рекуррентности, и не будет периодического типа, если только функция $f$ не окажется слишком близкой к периодической.

Предположим, например, что мы возьмем $q=8$ и соотнесем числам $0,1, \ldots, 7$ знаки $x, x^{-1}, y, y^{-1}, w_{1}$ (или $w_{1}^{-1}$ ), $w_{2}$ (или $w_{2}^{-1}$ ), $w_{3}$ (или $w_{3}^{-1}$ ), $w_{4}$ (или $w_{4}^{-1}$ ) соответственно. Кажущаяся некоторая неопределенность несущественна, так как знаки $w_{i}, w_{j}^{-1}$ должны чередоваться. Тогда мы получим символ для рекуррентного движения на нашей поверхности, соответствующий любой функции $f$. В самой природе предложенного метода построения рекуррентных непериодических движений лежит то, что они обладают некоторыми $p$ периодами, лежащими в основе, и вполне могут быть непрерывного типа. Пример, предложенный Морсом, оказался, как он показал, разрывного типа.

Общая теория, изложенная в главе VII, показывает, что всякое движение имеет в связном замкнутом множестве своих $\alpha$ – $(\omega)$ – предельных движений некоторое множество рекуррентных движений.

Метод, примененный там для построения такого рекуррентного движения, имеет свой аналог в символическом методе, при помощи которого по крайней мере один нормальный символ рекуррентного типа может быть получен из каждого конца какого-нибудь нормального символа.

Возникает вопрос: в какой мере связные замкнутые $\alpha$ – и $\omega$-предельные множества могут быть заданы по желанию? Но очевидно, что так как данное движение приближается к своим $\omega$-предельным движениям асимптотически при возрастании времени, то возможно найти последовательность безгранично возрастающих дуг
\[
A B, B^{\prime} C, C^{\prime} D,
\]

лежащих в $\omega$-предельном множестве, и при этом таких, что $B^{\prime}$ очень близко к $B, C^{\prime}$ к $C$ и т. д., и что эти дуги, взятые вместе, аппроксимируют сколь угодно близко множество всех $\omega$-предельных движений $\left({ }^{12}\right)$. Для этой цели мы можем разбить данное движение на длинные дуги $M N, N P, P Q, \ldots$, каждая из которых близка к $\omega$-предельному множеству, так что в этом множестве существуют отрезки $A B, B^{\prime} C, \ldots$, близкие соответственно к $M N, N P$ и, таким образом, ко всему $\omega$-предельному множеству. Будем называть всякое связное замкнутое множество, обладающее этим свойством, «циклическим».
$\alpha$ – $u \omega$-предельные множества всякого движения будут непременно циклическими множествами. Обратно, если в рассматриваемом случае даны два ииклических множества движений, то всюду плотно лежат движения, имеющие в точности данные множества в качестве своих $\alpha$ и $\omega$-предельных множеств.

В самом деле, построим символ, который имел бы в одном направлении последовательность символов, соответствующих дугам $A B, B^{\prime} C$, $C^{\prime} D, \ldots \omega$-предельного циклического множества, где, как выше, эти символы возрастают по длине, в то время как расстояния между точками $B B^{\prime}, C C^{\prime}, \ldots$ становятся все меньше и меньше; сделаем то же для $\alpha$-предельного циклического множества, но в обратном направлении. Между этими двумя частями вставим произвольный конечный символ. Такой символ, очевидно, соответствует движению с требуемыми свойствами, и эти движения будут, очевидно, всюду плотны, благодаря присутствию произвольного символа.

Наконеи, существуют неспециальные движения, так что рассматриваемая динамическая проблема транзитивна.

Для того, чтобы получить неспециальные движения, нам нужно только написать символы, которые содержали бы все допустимые конечные последовательности значков.

Совокупность всех неспециальных движений, разумеется, измерима в смысле Лебега, и вполне естественно предположить, что ее мера равна мере всего многообразия состояний движения, т. е. что совокупность всех специальных движений имеет меру нуль. Я не мог доказать справедливость этого предположения ( $\left.{ }^{13}\right)$.

Таким образом, в геодезической проблеме на замкнутой аналитической поверхности отрицательной кривизны существует чрезвычайно большое разнообразие типов движения, но тем не менее для нее существует специальный алгоритм, при помощи которого мы можем удовлетворительно описать все это разнообразие с помощью надлежащих символов.

Вышеприведенная задача, разумеется, отличается от динамических задач наиболее интересного класса, представленного геодезической проблемой на выпуклой поверхности, в том отношении, что в ней все периодические движения принадлежат к неустойчивому типу. Тем не менее она, по-видимому, является во многих отношениях типической для общего случая.