Рассмотрим произвольную точку $P_{0}$ многообразия состояний движения $M$. Пусть $\sigma$ будет открытое связное множество малого диаметра $\varepsilon^{2}$, содержащее $P_{0}\left({ }^{3}\right)$. При возрастании времени $t$ эта «частица» $\sigma$ движется. Может случиться, что $P_{0}$ представляет состояние равновесия; в этом
${ }^{2}$ Очевидно, что в $M$ можно определить расстояние надлежащим образом. Диаметром совокупности точек будет тогда просто верхняя грань расстояний двух точек этой совокупности.

случае частица $\sigma$ все время будет содержать $P_{0}$; временно мы исключим этот случай из рассмотрения. Во всяком другом случае $\sigma$ через некоторое время придет в положение, не имеющее общих точек с ее первоначальным положением $\sigma_{0}$, если только $\sigma_{0}$ достаточно мало; это следует из того, что составляющие скорости $d x_{i} / d t$ для всех точек частицы приблизительно такие же, как для $P_{0}$. Если можно выбрать $\varepsilon$ настолько малым, чтобы $\sigma$ после этого никогда не налегала на свое первоначальное положение, то мы будем называть $P_{0}$ «блуждающей точкой» и соответственное движение «блуждающим движением».

В противном случае точку $P_{0}$ мы будем называть «неблуждающей точкой» и соответственное движение «неблуждающим движением». Неблуждающими мы будем, разумеется, называть также точки равновесия и соответственные вырождающиеся «движения» $\left.{ }^{4}\right)$.

В этих определениях имеется кажущаяся асимметрия между направлениями возрастания и убывания времени $t$. Но легко видеть, что фактически нет никакой асимметрии. Действительно, если частица $\sigma$ налегает на свое первоначальное положение $\sigma_{0}$ через промежуток времени $\tau$, то она ведет себя так же через промежуток времени – $\tau$; потому что, если частицы $\sigma_{0}$ и $\sigma_{\tau}$, налегают друг на друга, то $\sigma_{-\tau}$ и $\sigma_{0}$, очевидно, тоже налегают друг на друга.

Таким образом, блуждающая точка $P_{0}$ характеризуется тем, что соответственная частица $\sigma$ описывает $n$-мерную трубку, нигде не пересекающую самое себя, когда $t$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty\left({ }^{5}\right)$. По этой причине название «блуждающая» представляется законным, так как точка никогда не возвращается в бесконечно малую окрестность какойнибудь раз пройденной точки $\left.{ }^{6}\right)$.

Совокупность $W$ всех блуждающих точек многообразия представляет собой открытую совокупность, состоящую из кривых движения. Совокупность $M_{1}$ неблуждающих точек $M$ состоит из дополнительной залкнутой совокупности кривых движения ( ${ }^{7}$ ).

Из того, что было сказано выше, сразу следуют все части этого утверждения, кроме разве того, что $W$ открыто и, следовательно, $M_{1}$ замкнуто. Но если $P_{0}$ есть блуждающая точка, то таковыми, очевидно, будут все точки частицы $\sigma$, содержащей $P_{0}\left({ }^{8}\right)$. Отсюда тотчас же следует, что $W$ – открытая совокупность и, значит, $M_{1}$ – замкнутая совокупность.

Если совокупность $M$ содержит точки, не являющеся предельными точками совокупности $W$, то эти точки образуют подмножество $M_{1}^{\prime}$ множества $M_{1}$, состоящее из кривых движения и обладающее свойством региональной рекуррентности.

Очевидно, что $M_{1}^{\prime}$ состоит из кривых движения, потому что если какая-нибудь точка $Q$ совокупности $M_{1}$ не находится в непосредственном соседстве ни с какой кривой движения, принадлежащей $W$, то то же самое будет справедливо относительно любой точки кривой движения, проходящей через $Q\left({ }^{9}\right)$. Мы видим также, что достаточно малая частица, содержащая $Q$, будет вся содержаться в $M_{1}^{\prime}$, так что $M_{1}^{\prime}$ является открытой совокупностью неблуждающих точек. Отсюда следует свойство региональной рекуррентности.

Очевидно, что совокупность $M_{1}^{\prime \prime}=M_{1}-M_{1}^{\prime}$ представляет собою просто границу открытых $n$-мерных совокупностей $W, M_{1}^{\prime}\left({ }^{10}\right)$. Она является состоящим из кривых движения замкнутым множеством размерности, меньшей $n$.

С возрастанием или убыванием времени любая блуждающая точка приближается асимптотически к совокупности $M_{1}$.

Это основное свойство блуждающих движений доказывается очень просто. Рассмотрим любую открытую окрестность множества $M_{1}$ и дополнительную замкнутую совокупность $C$, состоящую исключительно из блуждающих точек. Около каждой точки, принадлежащей $C$, может быть построена маленькая частица $\sigma$, которая при своем движении никогда не будет налегать на свое первоначальное положение. Следовательно, можно найти конечное число таких частиц, покрывающих полностью $C$. Движущаяся точка может войти в одну из таких частиц, которые мы считаем неподвижными, только однажды и оставаться там короткий промежуток времени. Отсюда очевидно, что она по истечении некоторого конечного промежутка времени будет оставаться в данной окрестности совокупности $M_{1}$. Следовательно, всякая движущаяся точка будет приближаться асимптотически к $M_{1}$, что и требовалось доказать.

Более внимательное изучение обнаруживает некоторые дальнейшие особенности способа приближения блуждающих движений к неблуждающим движениям. Так как в предыдущем рассуждении движущаяся точка входила в какую-нибудь из неподвижных частиц, покрывающих $C$, только однажды и оставалась там в течение короткого промежутка времени, то мы сможем высказать следующее положение.

Всякое блуждающее движение остается вне какой-нибудь выбранной окрестности совокупности $M_{1}$ в течение конечного времени $T$ и покидает эту окрестность конечное число $N$ раз, где $N$ и $T$ равномерно ограничены, коль скоро окрестность множества $M_{1}$ выбрана ${ }^{1}\left({ }^{11}\right)$.