1) Числа $\mu_{k}$ определены этими равенствами с точностью до целых кратных $\frac{2 \pi \sqrt{-1}}{\tau}$, что в дальнейшем не следует упускать из виду. Относительно этих чисел имеет место следующая известная теорема, полезная в дальнейшем.
Если уравнения вариации имеют решение, удовлетворяющее условию
\[
y_{i}(t+\tau)=e^{\mu \tau} y_{i}(t) \quad(i=1, \ldots, n),
\]
где $\mu$ – постоянная и не все $y_{i}$ тождественно равны нулю, то $\mu$ фигурирует среди чисел $\mu_{1}, \ldots, \mu_{n}$ (с точностью до слагаемого вида $\frac{2 \pi l \sqrt{-1}}{\tau}$, где $l$ – целое число).
Доказательство.
Решение $y_{1}, \ldots, y_{n}$ является линейной комбинацией фундаментальной системы решений
\[
y_{i}(t)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} y_{i k}(t),
\]
где $a_{k}$ суть постоянные, не равные нулю одновременно. Это дает
\[
\sum_{k, l=1}^{n} a_{k} c_{l k} y_{i l}(t)=e^{\mu \tau} \sum_{l=1}^{n} a_{l} y_{i l}(t) \quad(i=1, \ldots, n),
\]
откуда
\[
\sum_{k=1}^{n} a_{k} c_{l k}=e^{\mu \tau} a_{l}
\]
и поэтому
\[
\left|c_{i j}-e^{\mu \tau} \delta_{i j}\right|=0 .
\]
Следовательно, $e^{\mu \tau}$ совпадает с одним из чисел $m_{k}$, а $\mu-$ с одним из чисел $\lg \frac{m_{k}}{\tau}$, что и требовалось доказать.
2) Из дифференциальных уравнений для $y_{i}$ следует, что
\[
\frac{d}{d t}\left|y_{i j}\right|=\left.\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial X_{k}}{\partial x_{k}}\right|_{x=0}\left|y_{i j}\right|
\]
откуда
\[
\left|y_{i j}\left(t_{2}\right)\right|=\left.\left|y_{i j}\left(t_{1}\right)\right| e^{\int_{2}^{t_{1}} \sum \frac{\partial X_{k}}{\partial x_{k}}}\right|_{x=0} d t .
\]
Из последнего равенства следует, что определитель $\left|y_{i j}(t)\right|$ нигде не обращается в нуль, если $y_{i j}$ образуют систему линейно независимых решений.
3) Слово «функций» редакция ставит в кавычки, так как в действительности речь идет совсем не о функциях в общепринятом в современной математике смысле этого слова, а о формальных рядах, которые могут и расходиться, не определяя никаких функций.
4) Следует, однако, иметь в виду, что «доказательство» этих свойств, данное Пуанкаре (см. стр. 193-194 цитированной книги), состоит из путаницы, как замечено Винтнером («Amer. J. Math.», 53, 1931, $605)$.
5) Ограничение, наложенное здесь Биркгофом, – отсутствие кратных множителей, выраженное словами «вообще говоря» («in general»), является лишним. Очень простое доказательство теоремы о группировке гамильтоновых множителей в пары вида $(\lambda,-\lambda)$, свободное от этого ограничения, дано, например, в известном мемуаре А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (1-е русск. изд., Харьков, 1892; франц. перевод, «Annales de Toulouse», sér. 2, t. 9, 1907; 2-е русск. изд., Ленинград, 1935).
6) Так как вывод этого утверждения основан не на логических заключениях, а на неясных соображениях, связанных с термином «вообще говоря» («in general»), не имеющим единого точного смысла, то не приходится удивляться тому, что утверждение оказывается ошибочным.
Пусть, например, $m=2, H=p_{1}^{2}-q_{2}^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)\left(q_{1}+q_{2}\right)$. Характеристическое уравнение имеет вид
\[
\left|\begin{array}{cccc}
-1-\lambda & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 1-\lambda & 0 & 2 \\
2 & 0 & 1-\lambda & 1 \\
0 & 0 & -1 & -1-\lambda
\end{array}\right| \equiv \lambda^{4}+4=0 .
\]
Множителями будут корни этого уравнения, т.е. комплексные числа $\pm 1 \pm \sqrt{-1}$.
7) Выражения $M_{i i}-L_{i i}$ в этом случае вещественны. В самом деле, в силу того, что $p_{i}$ и $q_{i}$ в рассматриваемом случае вещественны при вещественных $\bar{p}_{i}$ и $\bar{q}_{i}$, коэффициенты $d_{i j}, e_{i j}, f_{i j}, g_{i j}$ (см. начало $\S 7$ ) вещественны. Но
\[
M_{i i}=\sum_{j=1}^{m} d_{j i} g_{j i}, \quad L_{i i}=\sum_{j=1}^{m} e_{j i} f_{j i} .
\]
8) То есть с точностью до полной производной.
9) Выражения $M_{i i}-L_{i i}$ в этом случае чисто мнимые. В самом деле, $p_{i}$ и $q_{i}$ вещественны, если $\bar{p}_{i}^{*}=q_{i}(i=1, \ldots, m)$, где * означает сопряженное комплексное число. Отсюда $d_{i j}^{*}=e_{i j}, f_{i j}^{*}=g_{i j}$. В силу равенств (1) примечания 7 это дает $L_{i i}^{*}=M_{i i}$. Следовательно, $M_{i i}-L_{i i}$ имеют вид $\rho_{i} \sqrt{-1}$, где $\rho_{i}$ вещественны и отличны от нуля. Если они не все положительны, то при $i$, соответствующих отрицательным $\rho_{i}$ мы меняем ролями $p_{i}$ и $q_{i}$, достигая этим положительности всех $\rho_{i}$.
10) При этом новая гамильтонова функция будет отличаться от старой множителем $\sqrt{-1}$.
11) Линейное преобразование, приводящее $H_{2}$ к такому виду, в общем случае, – когда присутствуют и вещественные и чисто мнимые и комплексные множители $\lambda$, – не обязательно будет иметь специальный вид, рассмотренный в §4. Точнее говоря, при этом преобразовании вещественным системам значений исходных переменных не обязательно будут соответствовать системы значений новых переменных, такие, что переменные, соответствующие комплексным сопряженным $\lambda$, будут иметь комплексные сопряженные значения.
12) Встречающиеся здесь выражения $e^{\gamma_{i} t}$ и $e^{-\gamma_{i} t}$, где $\gamma_{i}-$ формальные степенные ряды в $\alpha_{1}, \ldots, \beta_{m}$, нуждаются в расшифровке. Им можно придать следующий смысл. Обозначим через $\gamma_{i k}$ полином в $\alpha_{1}, \ldots, \beta_{m}$, получаемый из формального ряда $\gamma_{i}$, путем отбрасывания членов порядка выше $k$. Тогда $e^{\gamma_{i k} t}$ и $e^{-\gamma_{i k} t}$ представимы как сходящиеся степенные ряды в $\alpha_{1}, \ldots, \beta_{m}$, с коэффициентами, зависящими от $t$. Нетрудно видеть, что при $k \rightarrow \infty$ коэффициент в $e^{\gamma_{i k} t}$ при любом фиксированном произведении степеней $\alpha_{1}, \ldots, \beta_{m}$ в конце концов перестает меняться в зависимости от $k$. В этом смысле зависящий от $k$ степенной ряд для $e^{\gamma_{i k} t}$ формально сходится при $k \rightarrow \infty$ к некоторому формальному степенному ряду. Этот последний и обозначается через $e^{\gamma_{i} t}$. Аналогичным образом определяется $e^{-\gamma_{i} t}$.
Нетрудно видеть, что при такой расшифровке выражений $e^{\gamma_{i} t}$ и $e^{-\gamma_{i} t}$ равенства $p_{i}=\alpha_{i} e^{-\gamma_{i} t}, q_{i}=\beta_{i} e^{\gamma_{i} t}$ действительно определяют общее формальное решение нормализованных уравнений Гамильтона в смысле $\S 3$ с точностью до условия вещественности, которое, разумеется, может не соблюдаться. Роль постоянных $c_{1}, \ldots, c_{n}$ играют при этом $\alpha_{1}, \ldots, \beta_{m}$. Коэффициенты формальных степенных рядов, фигурирующих в этом формальном решении, как нетрудно усмотреть, представляются как произведения показательных функций $e^{-\lambda_{i} t}$ или соответственно $e^{\lambda_{i} t}$ на целье рациональные функции $t$.
К сожалению, из текста главы IV выясняется, что Биркгоф придает выражениям $e^{\gamma_{i} t}$ и $e^{-\gamma_{i} t}$ какой-то иной, не ясный для редакции смысл,
отступая от своего собственного определении общего формального решения, данного в § 3 главы III.
13) Возможность группировки множителей в пары вида ( $\lambda,-\lambda$ ) доказывается, далее, для более общего случая пфаффовых систем в примечании 24 к главе III. Что же касается вещественности или чистой мнимости множителей, то, как и для случая обыкновенного равновесия, утверждение Биркгофа ошибочно.
14) Как будет доказано в главе IV, обобщенная точка равновесия «общего типа» не может соответствовать периодическому движению гамильтоновой системы с главной функцией, не зависящей явно от $t$, если исключить случай покоя, при котором мы имеем обыкновенное равновесие.
15) Сравните аналогичное рассуждение в §5 этой главы.
16) Приведенное Биркгофом доказательство этого утверждения относится лишь к случаю отсутствия кратных «множителей». Утверждение справедливо, однако, во всех случаях, что может быть доказано следующим образом.
Обозначим через $A, B$ и $y$ соответственно матрицы
\[
\left\|\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial X_{j}}{\partial x_{i}}\right\|_{x=0}^{i, j=1, \ldots, 2 m}, \quad\left\|\frac{\partial^{2} Z}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right\|_{x=0}^{i, j=1, \ldots, 2 m},\left\|\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{2 m}
\end{array}\right\| .
\]
Тогда уравнения вариации могут быть записаны под видом
\[
A \frac{d y}{d t}=B y \text {. }
\]
Но так как согласно предположению существует матрица $A^{-1}$, обратная матрице $A$, то это матричное уравнение равносильно следующему:
\[
\frac{d y}{d t}=A^{-1} B y .
\]
Отсюда следует, что «множители» являются корнями уравнения
\[
\operatorname{det}\left(A^{-1} B-\lambda E\right)=0,
\]
где через $E$ обозначена единичная матрица и $\operatorname{det} M$ означает определитель матрицы $M$. Принимая, далее, во внимание, что $\operatorname{det} A
eq 0$, заключаем, что последнее уравнение равносильно следующему:
\[
\operatorname{det}(B-\lambda A)=0 .
\]
Наше утверждение будет доказано, если нам удастся показать, что левая часть последнего уравнения есть четная функция $\lambda$.
Чтобы убедиться в последнем, заметим, что $A^{T}=-A, B^{T}=B$, где $M^{T}$ означает транспонированную (отраженную от главной диагонали) матрицу $M$. В силу этого имеем:
\[
\operatorname{det}(B+\lambda A)=\operatorname{det}(B+\lambda A)^{T}=\operatorname{det}\left(B^{T}+\lambda A^{T}\right)=\operatorname{det}(B-\lambda A),
\]
что и требуется доказать.
17) Как мы знаем (см. примечание 6 к этой главе), последнее утверждение ошибочно уже в частном случае гамильтоновой проблемы.
18) В этом случае выражения $c_{j}-d_{j}$ вещественны. В самом деле, старые переменные $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ связаны с новыми $p_{1}, \ldots, p_{m}$, $q_{1}, \ldots, q_{m}$ вещественным линейным преобразованием:
\[
x_{i}=\sum_{k=1}^{m}\left(e_{i k} p_{k}+f_{i k} q_{k}\right) \quad(i=1, \ldots, 2 m),
\]
и, как нетрудно видеть,
\[
c_{j}=\sum_{i, k=1}^{2 m} a_{i k} e_{k j} f_{i j}, \quad d_{j}=\sum_{i, k=1}^{2 m} a_{i k} e_{i j} f_{k j},
\]
где $a_{i k}$ – коэффициент при $x_{k}$ в $X_{i}$ – также вещественный (ср. примечание 7 к главе III).
19) Доказательство, как в примечании 9 к главе III.
20) При этом
\[
\sum_{i=1}^{m}\left(c_{i}-d_{i}\right) p_{i} d q_{i}
\]
перейдет в
\[
\sqrt{-1} \sum_{i=1}^{m} \bar{p}_{i} d \bar{q}_{i} .
\]
От множителя $\sqrt{-1}$ мы можем освободиться путем деления на него функции $Z$. При этом, разумеется, надо предполагать, что все пары $\left(p_{i}, q_{i}\right.$ ) являются комплексными сопряженными.
21) Последний шаг – исключение коэффициентов $c_{i}-d_{i}$ при $p_{i} d q_{i}$ всегда может быть осуществлен хотя бы по формулам
\[
\bar{p}_{i}=p_{i}, \quad \bar{q}_{i}=\left(c_{i}-d_{i}\right) q_{i} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]
Однако результирующее линейное преобразование при этом, вообще говоря, не будет специального типа, рассмотренного в § 4 .
22) Этот нормальный вид $P_{i}$ состоит здесь в том, что линейная часть $P_{i}$ сводится к $p_{i}$.
23) В действительности $p_{i} q_{i}^{\prime}$ переходит с точностью до полной производной не в $\bar{p}_{i} \bar{q}_{i}^{\prime}$, а в $-\sqrt{-1} \bar{p}_{i} \bar{q}_{i}^{\prime}$. Множители $-\sqrt{-1}$ не мешают в дальнейших выкладках, если все пары $\left(p_{i}, q_{i}\right.$ ) являются комплексными сопряженными, так как тогда весь варьируемый интеграл можно умножить на $\sqrt{-1}$. Они, однако, являются нежелательными, если не все пары $\left(p_{i}, q_{i}\right.$ ), а лишь некоторые из них являются комплексными сопряженными.
Аналогичные обстоятельства имеют место при преобразованиях, применяемых в §7 и 11. Именно из-за этих обстоятельств эти преобразования непригодны в общем случае для приведения рассмотренных там проблем к нормальной форме.
24) Здесь это легко вытекает из следующего рассуждения. В § 5 было доказано, что при отсутствии кратных «множителей» любая задача обобщенного равновесия приводится к такой, для которой уравнения вариации имеют постоянные коэффициенты, посредством линейного преобразования зависимых переменных с коэффициентами, периодически зависящими от $t$ с периодом $\tau$. При этом преобразовании сохраняется пфаффова форма дифференциальных уравнений согласно $\S 12$ главы II. (То обстоятельство, что преобразование содержит $t$, не отражается на этом факте.) Нетрудно также видеть, что сохраняются и «множители». Пусть в самом деле преобразование от старых переменных $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ к новым $\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{2 m}$ выражается матричным равенством
\[
x=A \bar{x},
\]
где $A$ – невырождающаяся матрица с периодическими коэффициентами. Пусть матрица
\[
\bar{Y}=\left\|\begin{array}{lll}
\bar{y}_{11} & \cdots & \bar{y}_{1,2 m} \\
\vdots & & \vdots \\
\bar{y}_{2 m, 1} & \cdots & \bar{y}_{2 m, 2 m}
\end{array}\right\|
\]
дает фундаментальную систему решений уравнений вариации преобразованной системы таким образом, что каждый ее столбец соответствует отдельному решению. Полагая тогда
\[
Y=A \bar{Y},
\]
получим аналогичную матрицу $Y$, дающую фундаментальную систему решений первоначальных уравнений вариации.
В силу периодичности коэффициентов этих уравнений имеем:
\[
Y(t+\tau)=Y(t) C,
\]
где $C$ – матрица с постоянными коэффициентами.
Из равенств (1) и (2) заключаем, что
\[
\bar{Y}(t+\tau)=\bar{Y}(t) C .
\]
Отсюда следует, что «множители» обеих систем уравнений вариации – первоначальной и преобразованной – являются инвариантами одной и той же матрицы $C$. А так как новая система имеет постоянные коэффициенты и соответствует пфаффовой проблеме, то согласно $\S 10$ (см. примечание 16 к главе III) «множители» обеих систем могут быть разбиты на пары вида ( $\lambda,-\lambda$ ).
Следует отметить, что предположение об отсутствии кратных «множителей» и здесь является излишним. В самом деле, в предыдущем рассуждении мы лишь в одном месте пользовались этим предположением – при ссылке на доказанную в §5 возможность приведения системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами посредством надлежащего линейного преобразования зависимых переменных с периодическими коэффициентами. Но эта возможность имеет место во всех случаях, как доказано, например, в цитированной монографии А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (см. в особенности $§ 47$ главы III этой монографии).
Таким образом, разбиение «множителей» на пары вида $(\lambda,-\lambda)$ осуществимо для всех случаев пфаффовой задачи обобщенного равновесия.
Другое доказательство этого утверждения читатель найдет в цитированной статье Винтнера.
