1) На русском языке см. Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, ГТТИ. 1933, стр. 52-53.
2) Строгое доказательство этого утверждения может быть проведено следующим образом.
Лемма 1. Если решение $x(t)$ уравнений (1) главы I определено в промежутке $a<t<b$, где $b<\infty$, то при $t \rightarrow b$ точка $x(t)$ стремится $\kappa$ некоторому предельному положению.

Это является непосредственным следствием интегральных уравнений (2) и ограниченности функции $X$. Отсюда следует
Лемма 2. Если при соблюдении условий предыдущей леммы решение $x(t)$ не может быть распространено ни на какой промежуток $a<$ $<t<c$, где $b<c$, то при $t \rightarrow b$ точка $x(t)$ стремится к точке границы множества $R$.

В самом деле, допустим противное. Тогда согласно предыдущей лемме при $t \rightarrow b$ точка $x(t)$ должна стремиться к точке самого множества $R$. Обозначим последнюю через $x^{1}$. Расстояние ее от границы множества $R$ обозначим через $D$. Имеем $D>0$. Положим
\[
c=b+\frac{D}{\sqrt{n} M} \text {. }
\]

Имеем $b<c$. Согласно теореме существования, существует решение $x=y(t)$ уравнений (1), определенное при $|t-b|<c-b$ и такое, что $y(b)=x^{1}$. Положим
\[
z(t)=\left\{\begin{array}{ll}
x(t) & \text { при } a<t<b, \\
y(t) & \text { при } b \leqslant t<c .
\end{array}\right.
\]

Тогда $z(t)$ будет распространением решения $x(t)$ на промежуток $a<$ $<t<c$.

В самом деле, при $t
eq b$ составляющие $z(t)$ вектора $z(t)$ удовлетворяют уравнениям (1) по определению $y(t)$ и $z(t)$. При $t=b$ эти составляющие непрерывны, так как $y(b)$ есть предельное положение $x(t)$ при $t \rightarrow b$. Наконец, имеем интегральнье уравнения:
\[
\begin{array}{ll}
z_{i}(t)=z_{i}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} X_{i}\left[z_{1}(u), \ldots, z_{n}(u)\right] d u \quad(a<t<b), \\
z_{i}(t)=z_{i}(b)+\int_{b}^{t} X_{i}\left[z_{1}(u), \ldots, z_{n}(u)\right] d u \quad(b \leqslant t<c),
\end{array}
\]

где $t_{0}$ произвольное фиксированное число между $a$ и $b$. В силу непрерывности функции $z_{j}(u)$ и $X_{i}$ первая система уравнений соблюдается и при $t=b$. Принимая это во внимание и пользуясь второй системой уравнений, заключаем, что первая система уравнений соблюдается при всяком $t$, принадлежащем промежутку $a<t<c$, откуда и следует, что $z(t)$ является решением уравнений (1), определенным в этом промежутке.

Таким образом, решение $x(t)$ может быть распространено на промежуток $a<t<c$, где $c>b$ вопреки предположению. Этим лемма доказана.

Условимся теперь говорить, что решение $x(t)$ уравнений (1), определенное в промежутке $a<t<b$, продолжаемо направо (налево), если оно может быть распространено на промежуток $a<t<c(c<t<b)$, где $c>b(c<a)$. Тогда имеем следующее утверждение.
Лемма 3. Если решение $x(t)$ уравнений (1), определенное при $a<t<b$, продолжаемо направо, то оно может быть так распространено на промежуток $a<t\langle c$, где $c\rangle b$, что распространенное решение уже не будет продолжаемо направо.
Доказательство.
Определим прежде всего конечную или бесконечную последовательность решений
\[
x^{1}(t), x^{2}(t), \ldots
\]

уравнений (1) главы I следующим образом. Положим $x^{1}(t) \equiv x(t)$ $(a<t<b)$. Если $x^{1}(t)$ может быть распространено на промежуток $a<t<b+1$, то распространяем его на этот промежуток какимлибо образом и распространенное решение обозначаем через $x^{2}(t)$. Ecли же такое распространение невозможно, то обрываем последовательность (1) уже на первом члене.

В случае существования решения $x^{2}(t)$ дальнейшее построение последовательности (1) зависит от возможности распространения этого решения на промежуток $a<t<b+2$. Если такое распространение возможно, то производим его каким-либо образом и распространенное решение обозначаем через $x^{3}(t)$. В случае невозможности распространения обрываем последовательность (1) на члене $x^{2}(t)$.

Этот процесс последовательного распространения решения на промежутки $a<t<b+n(n=1,2, \ldots)$ продолжаем, пока он возможен. При этом, очевидно, могут встретиться два случая: либо процесс окажется продолжаемым до бесконечности, либо он оборвется на некотором $k$-м шаге.

В первом случае последовательность (1) бесконечна. Так как каждое решение, фигурирующее в этой последовательности, является распространением предыдущего решения, то, полагая
\[
x^{*}(t)=x^{j}(t) \quad(a<t<b+j-1),
\]

мы получим решение $x^{*}(t)$ уравнений (1) главы $\mathrm{I}$, определенное при $a<$ $<t<\infty$. Это решение, очевидно, является искомым распространением решения $x(t)$, не продолжаемым направо.

Во втором случае мы получаем распространение $x^{*}(t)$ решения $x(t)$, определенное при $a<t<b_{1}$, где $b \leqslant b_{1}$, и не допускающее распространения на промежуток $a<t<b_{1}+1$. При $b=b_{1}$ решение $x^{*}(t)$, разумеется, совпадает с $x(t)$, которое мы здесь рассматриваем как распространение самого себя.
Определим теперь последовательность решений
\[
y^{1}(t), y^{2}(t), \ldots
\]

уравнений (1) главы I следующим образом. Положим $y^{1}(t)=x^{*}(t)$ $\left(a<t<b_{1}\right)$. Если $y^{j-1}(t)$ уже определено в промежутке $a<t<b_{j-1}$, то опрсдслясм $y^{j}(t)$ в зависимости от того, допускаст ли $y^{i-1}(t)$ распространение на промежуток $a<t<b_{j-1}+2^{-j+1}$. Если допускает, то полагаем $b_{j}=b_{j-1}+2^{-j+1}$ и обозначаем через $y^{j}(t)$ одно какое-нибудь из таких распространений. Если же распространение на этот промежуток невозможно, то полагаем просто
\[
b_{j}=b_{j-1} \quad \text { и } \quad y^{j}(t) \equiv y^{j-1}(t) \quad\left(a<t<b_{j}\right) .
\]

Относительно определенных таким образом решений $y^{j}(t)$ и чисел $b_{j}$ нетрудно установить следующее. Решение $y^{j}(t)$, определенное при $a<$ $<t<b_{j}$, не допускает распространения на промежуток $a<t<b_{j}+2^{-j+1}$.

При $j=1$ справедливость этого утверждения уже известна. Предположим, что оно верно при $j=h-1$, и докажем его справедливость при $j=1$.

Допустим вопреки этому утверждению, что распространение решения $y^{h}(t)$ на промежуток $a<t<b_{h}+2^{-h+1}$ возможно. Тогда следует рассмотреть два случая: 1) $b_{h}=b_{h-1}+2^{-h+1}$, 2) $b_{h}=b_{h-1}$. В первом случае всякое распространение решения $y^{h}(t)$ на промежуток $a<t<b_{h}+2^{-h+1}$ будет вместе с тем распространением решения $y^{h-1}(t)$ на промежуток $a<t<b_{h-1}+2^{-h+2}$, что невозможно, согласно индуктивному предположению. Второй случай имеет место только тогда, когда решение $y^{h-1}(t)$ не допускает распространения на промежуток $a<t<b_{h-1}+2^{-h+1}$. В этом случае решение $y^{h}(t)$ совпадает с решением $y^{h-1}(t)$ и потому также не допускает распространения на этот промежуток вопреки допущению. Этим наше утверждение доказано при $h=1,2, \ldots$

Так как $0 \leqslant b_{j-1}-b_{j} \leqslant 2^{-j+1}$, то последовательность чисел $b_{1}, b_{2}, \ldots$, не убывая, стремится к некоторому пределу $b^{*}$. Так как в последовательности (2) каждое решение является распространением предыдущего решения (включая случай тождества этих решений), то, полагая
\[
y^{*}(t)=y^{j}(t) \quad\left(a<t<b_{j}\right),
\]

мы получим решение $y^{*}(t)$ уравнений (1), определенное при $a<t<b^{*}$. Это решение, очевидно, является распространением исходного решения $x(t)$.

Наконец, принимая во внимание, что $\lim _{j \rightarrow \infty} b_{j}=b^{*}$ и что решение $y^{j}(t)$, определенное при $a<t<b_{j}$, не допускает распространения на промежуток $a<t<b_{j}+2^{-j+1}$, заключаем, что решение $y^{*}(t)$ непродолжаемо направо, что и требуется доказать.

Разумеется, совершенно аналогичная лемма имеет место относительно распространения решений налево. Отсюда следует, что для всякого решения $x(t)$ уравнений (1), определенного при $a<t<b$, существует решение $x^{*}(t)$ этих уравнений, не продолжаемое ни направо, ни налево и являющееся распространением решения $x(t)$ (включая случай совпадения этих решений). Наконец, принимая во внимание лемму 2 и аналогичную лемму относительно решений, не продолжаемых налево, убеждаемся в справедливости утверждения, приведенного в тексте.