Зоны неустойчивости. Какова же, однако, природа границы подобной инвариантной торообразной области в $M$, заключающей данную замкнутую кривую устойчивого периодического движения? Для ответа на этот вопрос мы, естественно, обращаемся к рассмотрению характера соответственной инвариантной замкнутой кривой в $S$, составляющей внешнюю границу инвариантной области $s$.

Будем считать, что наше периодическое движение принадлежит к общему устойчивому типу, но при этом не к тому частному случаю, когда формальные ряды не содержат никаких переменных периодов (§1). В этом случае может быть применен нормальный вид (2) с $s
eq 0$ или подобный вид. Мы можем считать, что $s$ положительно, потому что если $s$ отрицательно для $T$, то соответствующее количество – $ы$ положительно для $T^{-1}$. Этот нормальный вид (2) показывает, что вращение против часовой стрелки вокруг инвариантной точки возрастает вместе с радиусом-вектором, если $r$ достаточно мало.
Граница всякой области $\bar{s}$, лежащей в достаточно малой окрестности инвариантной точки, встречает каждый радиус в одной точке. Действительно, допустим противное, и пусть $s^{*}$ обозначает совокупность всех точек, лежащих на отрезках, которые соединяют инвариантную точку с точками границы $\bar{s}$. Части области $s^{*}$, не лежащие в $\bar{s}$, ограничены, каждая дугой границы области $\bar{s}$ и отрезком радиуса и могут быть двух различных типов: либо они лежат Рис. 6 вправо от этого отрезка радиуса, либо лежат слева от него. Но преобразование $T$, очевидно, переводит область первого типа, т.е. ограниченную слева отрезком $l$ радиуса, в область, ограниченную границей $\bar{s}$ и образом $l_{1}$ этого отрезка $l$. Но так как угловая координата возрастает вместе с радиусом, то геометрически очевидно (рис. 6), что образ такой области обязательно будет составлять собственную часть области того же типа.

Но это невозможно, так как для преобразования $T$ существует инвариантный поверхностный интеграл, и, следовательно, это преобразование не может переводить никакую область в свою собственную часть. Таким образом, не существует областей, ограниченных слева отрезками радиуса.

Подобно этому, применяя обратное преобразование $T^{-1}$, мы можем показать, что не существует таких же областей, ограниченных справа отрезками радиуса.

Следовательно, каждый радиус встречает только однажды границу инвариантной области $\bar{s}$.

Невозможность того, чтобы отрезок радиуса-вектора составлял часть границы области $\bar{s}$, очевидна. Таким образом, граница $\bar{s}$ действительно встречает каждый радиус в одной точке.

Более тщательное рассмотрение, основанное на нормальном виде, показывает, что для кривой $r=f(\vartheta)$, ограничивающей область $\bar{s}$, разностное отношение
\[
\frac{f\left(\vartheta_{1}\right)-f\left(\vartheta_{2}\right)}{\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}
\]

ограничено, и при этом мало́ для инвариантных областей, лежащих в достаточно малой окрестности инвариантной точки ${ }^{1}$. Справедливость этого утверждения становится почти очевидной, если мы заметим, что $T$ изменяет направления, достаточно отличающиеся от перпендикулярных направлений к радиусу, переводя их в направления, еще более отличающиеся от последних.

Наши выводы могут быть, таким образом, сформулированы в виде следующего предложения.

Для устойчивого периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, инвариантные торообразные области таковы, что граница пересечения такой области с аналитической секущей поверхностью $S$ может быть представлена уравнением $r=f(\vartheta)$, где $r, \vartheta$ суть полярные координаты с инвариантной точкой в начале координат, а $f$ – непрерывная периодическая функция от $\vartheta$ с периодом $2 \pi$, для которой разностное отношение ограничено.

Кривые движения, лежащие на границе такой торообразной области, образуют замкнутое инвариантное семейство. Во всяком таком замкнутом инвариантном семействе движений вблизи данного устойчи-
${ }^{1}$ Подробности см. в моей уже цитированной статье, $\S 42-48$.

вого периодического движения имеется по крайней мере одно рекуррентное движение.

Если коэффициент вращения $\chi$ вдоль соответствующей инвариантной кривой на поверхности $S$ несоизмерим с $2 \pi$, то поверхность тора может представлять собой одно минимальное множество рекуррентных движений. В этом случае координаты и время могут быть представлены при помощи непрерывных функций, периодических по двум аргументам.

Для того, чтобы сделать это очевидным, выберем прежде всего угловые координаты $\vartheta, \varphi$ на поверхности тора следующим образом: координату $\varphi$ мы будем считать равной нулю на $S$ и возрастающей пропорционально времени вдоль каждой кривой движения, причем коэффициент пропорциональности должен быть выбран таким образом, чтобы $\varphi$ возрастало на $2 \pi$ между любыми двумя пересечениями с поверхностью $S$. Координату $\vartheta$ вдоль инвариантной кривой на $S$ нужно определить таким образом, чтобы преобразование $T$ приняло вид $\vartheta_{1}=\vartheta+\chi$, где $\chi$ есть указанный коэффициент вращения. Вне $S$ на торе $\vartheta$ можно положить равным значению $\vartheta$ для соответствующей точки на $S$, увеличенному на $\chi \varphi / 2 \pi$ с той целью, чтобы сделать $\vartheta$ однозначным на торе. В этих координатах уравнение кривой движения будет $\vartheta-\vartheta_{0}=\frac{\chi \varphi}{2 \pi}$. Кроме того, координаты $p_{i}, q_{i}$ суть периодические непрерывные функции от $\vartheta, \varphi$ и таким же свойством обладает $d t / d \varphi$.
Следовательно, мы можем написать:
\[
\begin{array}{c}
p_{1}=f\left(\frac{\chi \varphi}{2 \pi}, \varphi\right), \quad q_{1}=g\left(\frac{\chi \varphi}{2 \pi}, \varphi\right), \\
p_{2}=h\left(\frac{\chi \varphi}{2 \pi}, \varphi\right), \quad q_{2}=k\left(\frac{\chi \varphi}{2 \pi}, \varphi\right), \\
t=\int l\left(\frac{\chi \varphi}{2 \pi}, \varphi\right) d \varphi,
\end{array}
\]

где $f, g, h, k, l$ являются непрерывными периодическими функциями обоих аргументов периода $2 \pi$.

Может существовать еще одна возможность. Минимальное множество кривых движения может соответствовать совершенному, нигде не плотному множеству точек на инвариантной кривой; все другие движения будут тогда асимптотически приближаться к этому минимальному множеству рекуррентных движений при бесконечном возрастании или убывании времени ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Доказательства этих теорем и ссылки на предыдущую работу Пуанкаре см. в моей статье. «Quelques théorèmes sur le mouvement des systèmes dynamiques», Bull. Soc. Math. France, vol. 40, 1912.

Если, однако, коэффициент вращения будет соизмеримым с $2 \pi$ и будет иметь вид $2 p \pi / q$ ( $p$ и $q$ – взаимнопростые целые числа), то необходимо должны существовать точки инвариантной кривой, инвариантные относительно преобразования $T^{q}$. Можно доказать, что в этом случае вся инвариантная кривая состоит из аналитических дуг, ограниченных точками, инвариантными при преобразовании $T^{q}$, в то время как внутренние точки этих дуг стремятся асимптотически к этим инвариантным точкам при повторении операции $T$ или обратной операции $T^{-1} .^{1}$ Мы приходим, таким образом, к следующему заключению.

Всякое такое замкнутое семейство движений вблизи данного устойчивого периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, характеризуется коэффициентом врацения. Если этот коэффициент несоизмерим с $2 \pi$, то либо семейство состоит из единственного минимального множества рекуррентных движений непрерывного типа, или же оно содержит совершенное, нигде не плотное минимальное множество рекуррентных движений разрывного типа, к которому все остальные движения семейства стремятся асимптотически при безграничном возрастании или убывании $t$. Если это число соизмеримо с $2 \pi$, то в семействе существует одно или несколько замкнутых периодических движений, тогда как остальные движения семейства образуют аналитические ветви, асимптотические к этим периодическим движениям.

Следует отметить, что этот результат касается и инвариантных подмногообразий многообразия $M$ состояний движения и, в частности, касается центральных множеств такого подмногообразия. Следовательно, можно сделать вывод, что хотя в динамических системах классического типа все движения являются центральными по отношению ко всему многообразию, однако это не обязательно справедливо для инвариантных подмногообразий, так что понятие центральных движений продолжает иметь значение даже для проблем классической динамики.

Любые два такие замкнутые семейства не могут иметь общих движений, за исключением того случая, когда оба имеют один и тот же коэффициент вращения, соизмеримый с $2 \pi$. Очевидно, что коэффициент вращения, измеряющий среднее угловое вращение, должен быть одинаков для двух пересекающихся семейств. Для того, чтобы доказать, что этот коэффициент должен быть соизмеримым с $2 \pi$, отметим, что поскольку два данных семейства имеют по крайней мере одно общее движение, но не совпадают между собой, соответственные кривые $r=f_{1}(\vartheta)$ и $r=f_{2}(\vartheta)$ на поверхности $S$ будут заключать между собой одну или несколько областей, ограниченных (каждая) одной дугой каждой из обеих кривых. При повторении операции $T$ такая область
${ }^{1}$ См. мою цитированную статью в Acta Mathematica, $\S 42-48$.

должна, в конце концов, налечь на себя и, следовательно, совпасть с собой, причем обе ограничивающие ее дуги переходят, разумеется, в себя. Оба общих конца этих дуг останутся, следовательно, при этом преобразовании $T^{q}$ инвариантными и, следовательно, коэффициент вращения соизмерим с $2 \pi$.

Два семейства с различными коэффициентами вращения не могут пересекаться, и то из них, которое лежит дальше от периодического движения, имеет больший коэффициент вращения.

Будем условно рассматривать все инвариантные семейства, имеющие один и тот же соизмеримый с $2 \pi$ коэффициент вращения, как образующие одно семейство. Это тем более естественно, что любые два такие семейства должны пересекаться. Внешняя граница соответствующей сети инвариантных кривых на $S$ и ее внутренняя граница не могут не иметь общих точек, потому что они тогда соответствовали бы различным коэффициентам вращения. Это расширенное семейство, согласно формулированному выше утверждению, состоит из конечного числа периодических движений и из некоторых аналитических семейств движений, асимптотических к этим периодическим движениям.

Рассмотрим теперь бесконечную расширяющуюся или сжимающуюся последовательность таких инвариантных семейств. Эта последовательность, очевидно, определяет предельное инвариантное семейство, если только она не сжимается к нашему устойчивому периодическому движению и не расширяется за пределы той окрестности движений, рассмотрением которой мы ограничиваемся.

Эти инвариантные семейства движений вполне различны между собой, т.е. не пересекаются, имеют коэффициенты вращений, возрастающие (или убываюшие) вместе с расстоянием от данного устойчивого периодического движения, и составляют замкнутое множество. В случае, если упорядоченное множество инвариантных семейств содержит два последовательных члена, то область многообразия $M$, лежацал внутри внешней из соответствующих торообразных областей и вне внутренней, может быть названа «зоной неустойчивости» ${ }^{1}\left(^{6}\right)$ На поверхности $S$ этой зоне соответствует кольцеобразная область, лежащая между двумя последовательными инвариантными кривыми. Такие области будут всегда существовать, если только инвариантные семейства не заполнят окрестность устойчивого периодического движения целиком, за исключением областей, заключенных внутри инвариантных семейств с коэффициентами вращения, соизмеримыми с $2 \pi$.

Многие из примененных здесь методов могут быть использованы для более подробного изучения вопросов, связанных с последовательностями инвариантных семейств, зонами неустойчивости и их отно-
${ }^{1}$ В $\S 8$ этой главы коротко рассмотрен вопрос о существовании таких зон.

шением к близким периодическим движениям ( $\S 8,9$ ). Мы установим здесь только следующее предложение.

Во всякой зоне неустойчивости вокруг данного устойчивого периодического движения существуют движения, исходящие из любой, сколь угодно малой окрестности любого движения, принадлежащего одному из ограничивающих семейств, и переходящие в произвольно заданную окрестность другого ограничивающею семейства.

В самом деле, рассмотрим внутреннюю границу соответственного кольца в $S$ и маленькую область, окружающую произвольную точку этой границы кольца. Бесконечным повторением операции $T$ определяем инвариантную область, состоящую из области, находящейся внутри этой внутренней границы, самой границы и выбранной нами маленькой области вместе со всеми ее последовательными образами. Границей, определенной таким образом инвариантной области, должна служить внешняя граница кольца, так как внутренняя и внешняя границы кольца являются последовательными инвариантными кривыми на $S$. Таким образом, образ маленькой площадки подходит сколь угодно близко к внешней инвариантной кривой, что и требовалось доказать.