Рассмотрим теперь преобразование $T E$, получаемое, если после $T$ произвести такое преобразование $E$. Ясно, что $T E$ есть прямое одно-однозначное преобразование кольца $R$ в кольце $E\left(R_{1}\right)$ и что оно переводит круг $C$ в другую кривую $C_{1}$, окружающую $C$. Кроме того, $T E$ переводит точки $P_{0}, P_{1}, \ldots, P_{n-1}$ минимальной $\delta$-цепи, соответствующей преобразованию $E$, в точки $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$ соответственно. В самом деле, $T$ переводит $P_{i-1}$ в точку $T\left(P_{i-1}\right)$, а $E$ переводит последнюю в $P_{i}$. Так как $P_{0}$ лежит на $C_{0}=C$, то $P_{1}$ лежит на $C_{1}$.

Преобразование $T E$ переводит двусвязное кольцо, ограниченное кривыми $C_{0}$ и $C_{1}$, в аналогичное кольцо, ограниченное кривыми $C_{1}$ и $C_{2}$. Это второе кольцо опирается на внешнюю сторону $C_{1}$ первого кольца, а точка $P_{2}$ лежит на $C_{2}$. Таким образом, применяя последовательно преобразование $T E$, получаем последовательность расширяющихся колец $C_{0} C_{1}, C_{1} C_{2}, \ldots, C_{n-1} C_{n}$, каждое из которых опирается на предыдущее, в то время как $P_{0}, P_{2}, \ldots, P_{n}$, лежат соответственно на $C_{0}, C_{1}, \ldots, C_{n}$.

Этот процесс, разумеется, кончился бы раньше, если какое-нибудь кольцо $C_{r-1} C_{r}(r<n)$ выходило из $R$. Очевидно, однако, что все точки $C_{0} C_{1}$ принадлежат $M_{1}$, все точки $C_{1} C_{2}$ принадлежат $M_{2}$ и т. д., так что все точки $C_{r-1} C_{r}$ принадлежат $M_{r}$ и потому по самому определению минимальной $\delta$-цепи не могут лежать вне $R$. С другой стороны, $P_{n}$ на $C_{n}$ лежит вне $R$, так что часть кольца $C_{n-1} C_{n}$ простирается вне $R$.

На этом этапе удобно рассматривать $r$ и $\vartheta$ как прямоугольные координаты точки на плоскости $r, \vartheta$. Из какого-либо избранного определения преобразования $T$ в этой плоскости все другие определения этого преобразования получаются посредством параллельного перемещения в направлении $\vartheta$ на расстояние $2 k \pi(k= \pm 1, \pm 2, \ldots)$. Круг $C$ переходит в прямую $r=a$, параллельную оси $\vartheta ; \Gamma$ и $\Gamma_{1}$ оказываются незамкнутыми кривыми, лежащими над этой прямой и простирающимися бесконечно далеко направо и налево, тогда как $C_{1}, C_{2}, \ldots$ делаются такими же кривыми, причем $C_{1}$ лежит над $C_{0}, C_{2}$ над $C_{1}$ и т. д.
Отрезки какой-либо из этих кривых, содержащиеся в полосе
\[
2 k \pi \leqslant \vartheta \leqslant 2(k+1) \pi
\]

конгруентны друг другу. Кольца $C C_{1}, C_{1} C_{2}, \ldots$ делаются примыкающими друг к другу лентами. Преобразование $T E$ переводит каждую такую ленту в ленту, лежащую непосредственно над ней.

В этой новой плоскости соединим точки $P_{0}$ и $P_{1}$ непрерывной дугой $P_{0} P_{1}$ без кратных точек, пересекающей ленту $C_{0} C_{1}$ и, исключая точки $P_{0}$ и $P_{1}$, лежащей внутри этой ленты.

Очевидно, что $T E$ переводит дугу $P_{0} P_{1}$ в дугу $P_{1} P_{2}$, пересекающую вторую ленту $C_{1} C_{2}$. Далее, $T E$ переводит дугу $P_{1} P_{2}$ в дугу $P_{2} P_{3}$ на третьей ленте и т. д. (рис. 12). Очевидно, что таким образом получается непрерывная кривая $P_{0} P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ без кратных точек.

Пусть $Q_{0}$ будет первой точкой, в которой кривая $P_{0} P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ встречает границу $\Gamma$ кольца $R$. Точка $Q_{0}$, очевидно, лежит на дуге $P_{n-1} P_{n}$, но не совпадает с концевой точкой $P_{n}$. Рассмотрим образ

Рис. 12
кривой $P_{0} P_{1} \ldots P_{n-1} Q_{0}$ при преобразовании $T E$. Преобразованная кривая $P_{1} \ldots P_{n} Q_{1}$ состоит из дуг
\[
P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n-1} P_{n}, P_{n} Q_{1}
\]

и, очевидно, не имеет кратных точек. Ясно также, что преобразованная кривая не имеет общих точек с дугой $P_{0} P_{1}$, отличных от $P_{1}$. Следовательно, вспомогательная кривая $P_{0} Q_{1}$ не имеет кратных точек. Она обладает тем дальнейшим свойством, что преобразование $T E$ переводит часть ее $P_{0} Q_{0}$, пересекающую $R$, в другую часть $P_{1} Q_{1}$, частично лежащую вне $R$ и пересекающую $E\left(R_{1}\right)$.

Строго говоря, так как для $P_{0}$ существует бесконечная система изображающих точек, если считать $r$ и $\vartheta$ прямоугольными координатами, а именно точки, получаемые из какой-либо одной при движениях вправо и влево на расстояние $2 k \pi$, то получается бесконечная система конгруентных крииых $P_{0} Q_{1}$. Если, однако, вернуться к $r$ и $\vartheta$, как к полярным координатам, и выбрать дугу $P_{0} P_{1}$ так, чтобы она не имела кратных точек в этой старой плоскости, то очевидно, что в новой плоскости кривые $P_{0} Q_{1}$ попарно не будут иметь общих точек и не будут также иметь кратных точек.
Полученные таким образом результаты резюмирует

Лемма 3. При условиях и обозначениях леммы 2 существует непрерывная кривая без кратных точек
\[
P_{0} P_{1} \ldots P_{n-1} Q_{0} P_{n} Q_{1},
\]

такая, что преобразование $T E$ переводит дугу $P_{0} Q_{0}$, пересекаюшую $R$, в дугу $P_{1} Q_{1}$, пересекающую $E\left(R_{1}\right)$, в то время как $P_{0} P_{1}$ пересекает кольцо, ограниченное кривыми $C$ и $E(C)$.