Пуанкаре показал, что существование бесконечного множества периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел и других динамических задачах тотчас следует из некоторой геометрической теоремы, с которой лемма $\S 1$ тесно связана.
Для удобства мы прежде всего сформулируем эту теорему.

Геометрическая теорема Пуанкаре. Пусть нам дано кольцо $0<a \leqslant$ $\leqslant r \leqslant b$ в плоскости, определяемой полярными координатами $r, \vartheta$ и некоторое одно-однозначное непрерывное, сохраняющее площадь преобразование $T$ этого кольца в себя и при этом такое, что точки окружности $r=$ а передвигаются при этом преобразовании вперед (т.е. в направлении возрастающих $\vartheta$ ), а точки окружности $r=b$ передвигаются назад (в направлении убывающих $\vartheta$ ). Тогда в кольце будут существовать по меньшей мере две точки, инвариантные при преобразовании $T$.
Мы наметим вкратце доказательство этой теоремы.
Будем считать $x=\vartheta$ и $y=r^{2}$ прямоугольными координатами точки на плоскости $(x, y)$. Наше кольцо будет на этой плоскости представлено полоской $a^{2} \leqslant y \leqslant b^{2}$. Преобразование $T$ этой полоски в себя передвигает точки границы $y=a^{2}$ вправо, а точки границы $y=b^{2}$ – влево. Кроме того, преобразование $T$ сохраняет площади в плоскости $(x, y)$, так как $2 r d r d \vartheta=d x d y$, и перемещает одинаковым образом любые две точки, имеющие одинаковую ординату и абсциссы, различающиеся на число, кратное $2 \pi$.

Присоединим к $T$ новое преобразование $T_{\varepsilon}$, совершающее перенос всех точек плоскости $(x, y)$ на расстояние $\varepsilon>0$ в направлении возрастающих $y$. Композиция преобразований $T$ и $T_{\varepsilon}$, (в порядке сначала $T$, потом $T_{\varepsilon}$,) дает сохраняющее площадь преобразование $T T_{\varepsilon}$ которое переводит данную полоску $a^{2} \leqslant y \leqslant b^{2}$ в полоску $a^{2}+\varepsilon \leqslant y \leqslant b^{2}+\varepsilon$.

Предположим, что преобразование $T$ не имеет инвариантных точек, тогда существует такое положительное количество $d$, что все точки перемещаются на расстояние, не меньшее $d$ при преобразовании $T\left({ }^{8}\right)$. Выберем за $\varepsilon$ число, меньшее $d$.
${ }^{1}$ Этот параграф по существу совпадает с $\S 34$ моей статьи «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917.

Рассмотрим теперь узкую полоску $a^{2} \leqslant y \leqslant a^{2}+\varepsilon$. При преобразовании $T T_{\varepsilon}$, нижний край $y=a^{2}$ этой полоски переходит в верхний, а вся полоска превращается в новую полоску, лежащую целиком над прежней, за исключением их общего края. Повторяя преобразование $T T_{\varepsilon}$, переводим вторую полоску в третью и т. д.

Продолжая этот процесс, мы получим ряд полос, образующих последовательные слои. Каждый из этих слоев совмещается с самим собой при передвижении на $2 \pi$ направо. Это следует из того, что оба преобразования $T$ и $T_{\varepsilon}$ однозначны в кольце.
Рис. 2
В кольце эти слои будут изображаться системой замкнутых кольцевых слоев, которые, разумеется, все имеют одинаковую площадь, потому что преобразование $T T_{\varepsilon}$, сохраняет площадь относительно $r, \vartheta$ так же, как в плоскости $(x, y)$. Следовательно, какой-нибудь из этих слоев на бесконечной полоске, скажем $k$-й слой, должен перейти гденибудь через верхнюю границу $y=b^{2}$ нашей полоски. Пусть теперь в плоскости $(x, y) Q$ будет точка верхнего края $k$-й полоски, для которой $y$ достигает наибольшей величины (рис. 2). Обозначим через $P$ точку прямой $y=a^{2}$, которая $k$-кратным повторением преобразования $T T_{\varepsilon}$ переводится в $Q$, и пусть $P^{\prime}, P^{\prime \prime}, \ldots, P^{(k)}=Q$ обозначают образы точки $P$ при последовательной итерации преобразования $T T_{\varepsilon}$. Проведем прямолинейный отрезок $P P^{\prime}$, который будет, разумеется, лежать целиком в первом слое. Последовательные образы этого отрезка $P^{\prime} P^{\prime \prime} \ldots P^{(k-1)} P^{(k)}$ будут все находиться в соответственных слоях и не будут иметь между собой общих точек, если не считать того, что две последовательные дуги $P^{(i-1)} P^{(i)}$ и $P^{(i)} P^{(i+1)}$ имеют общий конец $P^{(i)}$. Таким образом, соединяя эти дуги вместе, получим одну дугу $P Q$ без двойных точек.

Рассмотрим теперь вектор $L L^{\prime}$, идущий от какой-нибудь точки $L$ к ее образу $L^{\prime}$ при преобразовании $T T_{\varepsilon}$, и будем двигать начало $L$ вектора от $P$ к $P^{(k-1)}$ вдоль линии $P Q$. Угол, образуемый этим вектором с
положительным направлением оси абсцисс, мы можем считать в начале пути (при $L=P$ ) положительным острым углом, так как образ $P^{\prime}$ точки $P$ лежит справа и сверху от самой точки $P$. Когда точка $L$ перешла в конечное положение $P^{(k-1)}$ своего пути, этот угол будет лежать во втором квадранте, потому что, по условиям теоремы и определению $Q=P^{(k)}, P^{(k)}$ лежит слева и сверху от $P^{(k-1)}\left({ }^{9}\right)$.

Из способа построения последовательных дуг $P P^{\prime}, P^{\prime} P^{\prime \prime}, \ldots$ совершенно очевидно, что когда $L$ движетея по кривой $P Q$ от $P$ к $P^{(k-1)} L^{\prime}$ движется вдоль той же кривой от $P^{\prime}$ к $Q$. Поэтому легко видеть на pис. 2, что вектор $L L^{\prime}$ при переходе из начального положения $P P^{\prime}$ к конечному $P^{(k-1)} P(k)$ делает поворот на наименьший положительный угол $\left({ }^{10}\right)$. Если теперь двигать $L^{\prime}$ дальше от $Q$ по вертикальному направлению до встречи с прямой $y=b^{2}+\varepsilon$, то утверждение о вращении вектора на наименьший положительный угол останется справедливым при условии, что $\varepsilon$ достаточно мало, так как $Q$ лежит самое большее на $\varepsilon$ над прямой $y=b^{2}\left({ }^{11}\right)$.

Предположим теперь, что $L$ движется любым способом от какойнибудь точки прямой $y=a^{2}$ до какой-нибудь точки прямой $y=b^{2}$, оставаясь, конечно, все время на нашей полоске $a^{2} \leqslant y \leqslant b^{2}$. Преобразование $T T_{\varepsilon}$ не имеет инвариантных точек, и, следовательно, точка $L$, никогда не будет совпадать со своим образом $L^{\prime}$. В начальном положении угол, образуемый $L L^{\prime}$, лежит в первой четверти; в конечном же положении этот угол лежит во второй четверти. Но полное изменение угла при движении $L$ от $y=a^{2}$ до $y=b^{2}$ оказалось в одном частном случае равным наименьшему возможному положительному углу $\left({ }^{12}\right)$. Следовательно, так как любой путь точки $L$ от $y=a^{2}$ до $y=b^{2}$ может быть непрерывно преобразован в любой другой, это изменение будет всегда равно наименьшему положительному углу.

Пусть теперь $\varepsilon$ стремится к нулю. При уменьшении $\varepsilon$ вектор $L L^{\prime}$, где $L$ – любая точка нашей полоски, все время имеет определенное направление, так как преобразование $T T_{\varepsilon}$ не имеет инвариантных точек. Посредством предельного перехода мы получаем, что для преобразования $T$ угловое изменение направления вектора $L L^{\prime}$ будет равно наименьшему возможному положительному углу $\left({ }^{13}\right)$. Этот наименьший положительный угол, разумеется, равен $\pi$, потому что начальное направление $L L^{\prime}$ при $L$, лежащем на прямой $y=a^{2}$, будет совпадать с положительным направлением оси абсцисс, а конечное направление $L L^{\prime}$ при $y=b^{2}$ будет совпадать с отрицательным направлением оси абсцисс.

Рассмотрим теперь обратное преобразование $T^{-1}$, которое принадлежит к тому же типу, что и $T$, с той только разницей, что оно передвигает точки прямой $y=a^{2}$ налево, а точки прямой $y=b^{2}$ – направо. Рассуждением, совершенно подобным тому, которое было приведено выше, мы докажем, что если начальная точка $L$ вектора $L L^{(-1)}$, конец которого есть $L^{(-1)}=T^{-1} L$, движется от какой-нибудь точки прямой $y=a^{2}$ до точки прямой $y=b^{2}$, то полное изменение угла вектора с осью абсцисс будет равно наименьшему отрицательному углу, т. е. $-\pi$.

Но полный поворот вектора $L L^{(-1)}$ в точности равен полному повороту обратно направленного вектора $L^{(-1)} L$, соединяющего точку $L^{(-1)}$ на $y=a^{2}$ с ее образом $L$ при преобразовании $T$.

Следовательно, по предыдущему полное изменение направления вектора $L L^{(-1)}$, при движении $L$ (или $L^{(-1)}$ ) от прямой $y=a^{2}$ до прямой $y=b^{2}$, должно быть равно $\pi$, между тем как мы только что получили, что оно должно быть равно – . Мы пришли, таким образом, к противоречию, из которого следует, что преобразование $T$ должно иметь по крайней мере одну инвариантную точку.

Для того, чтобы доказать, что таких точек должно быть не менее чем две, мы можем применить способ, примененный Пуанкаре.
Пусть точка $L$ описывает основной прямоугольник
\[
0 \leqslant x \leqslant 2 \pi, \quad a^{2} \leqslant y \leqslant b^{2}
\]

в плоскости $(x, y)$ в положительном направлении. Очевидно, что при этом полный поворот вектора $L L^{\prime}$ будет равен нулю, потому что вектор $L L^{\prime}$ не изменяет направления вдоль стороны $y=a^{2}$ и вдоль стороны $y=b^{2}$, а повороты вектора вдоль сторон $x=0$ и $x=2 \pi$ дают в сумме нуль. Но если $L$ описывает замкнутый путь вокруг простой инвариантной точки, то поворот вектора $L L^{\prime}$ будет равен $\pm 2 \pi$. Следовательно, мы видим, что либо имеются по крайней мере две простые инвариантные точки, такие, что повороты вектора $L L^{\prime}$ вокруг них равны $+2 \pi$ и $-2 \pi$ соответственно, либо по крайней мере одна кратная инвариантная точка. В действительности будут всегда существовать по крайней мере две геометрически различные инвариантные точки ${ }^{1}$.