Разыскание интегралов представляет собою задачу, имеющую основное значение в теории систем дифференциальных уравнений. Вопрос о том, имеет ли данная система интегралы какого-либо определенного типа, обычно может быть решен формальными методами. Задача нахождения таких интегралов рассматривалась и разрешалась во многих частных случаях. Чтобы коснуться немного динамических задач этого рода, мы рассмотрим здесь вкратце интегралы лагранжевых систем, которые линейны или второй степени относительно скоростей. Область изменения переменных $q_{1}, \ldots, q_{m}$ мы ограничим малой скоростью точки $q_{1}^{*}, \ldots, q_{m}^{*}$, в то время как $q_{1}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$ для рассматриваемых интегралов будут произвольны.
Мы будем предполагать, что $L$ – квадратичная функция скоростей, причем однородная квадратичная часть $L_{2}$ есть положительная определенная форма $\left.{ }^{2}\right)$.
Существует очень простой случай, когда частный интеграл лагранжевых уравнений, линейный относительно скоростей, может быть найден сразу, а именно: случай, когда одна из координат, например $q_{1}$, не входит в главную функцию $L$. В этом случае соответственное дифференциальное уравнение принимает вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}}=0,
\]
откуда
\[
\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}}=c .
\]
Это – интеграл, линейный относительно скоростей. Координата $q_{1}$ в этом случае называется «несущественной координатой».
Можно доказать методом вариаций, что в этом случае остальные $m-1$ уравнений, дающих систему $m-1$ уравнений второго порядка относительно $q_{2}, \ldots, q_{m}$, после того, как с помощью вышеприведенного интеграла мы исключили $q_{1}^{\prime}$, могут быть выражены в лагранжевой форме. Обозначим через $\bar{L}$ функцию от $q_{2}, \ldots, q_{m}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{m}^{\prime}$, получаемую из $L$ после исключения $q_{1}^{\prime}\left({ }^{3}\right)$. Если $q_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$ удовлетворяют данным уравнениям Лагранжа, то, интегрируя по частям, находим для произвольных вариаций $q_{2}, \ldots, q_{m}$
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \bar{L} d t=\left.\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial L}{\partial q_{j}^{\prime}} \delta q_{j}\right|_{t_{0}} ^{t_{1}} ;
\]
здесь $q_{1}^{\prime}$ определяется из соотношения $\partial L / \partial q_{1}^{\prime}=c$, тогда как $q_{1}$ определяется только с точностью до постоянного слагаемого. Если $\delta q_{2}, \ldots, \delta q_{m}$ обращаются в нуль в окрестности концов интервала $\left(t_{0}, t_{1}\right)$, то это равенство приводится к виду:
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \bar{L} d t=\left.c \delta q_{1}\right|_{t_{0}} ^{t_{1}} \quad \text { или } \delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\bar{L}-c q_{1}^{\prime}\right) d t=0 .
\]
Если $q_{1}$ есть несущественная координта, то наши лагранжевы уравнения могут быть заменены системой лагранжевых уравнений в $q_{2}, \ldots, q_{m}$, с главной функцией
\[
L-\frac{\partial L}{\partial q_{1}^{\prime}} q_{1}^{\prime},
\]
в которой можно исключить $q_{1}^{\prime}$, пользуясь известным интегралом $\partial L / \partial q_{1}^{\prime}=c$.
Мы отметили вышеуказанное приведение системы к системе с меньшим числом степеней свободы, потому что оно характерно как пример тех приведений, к которым стремятся во многих динамических проблемах, а именно приведений, сохраняющих общий вид уравнений.
