Можно было бы показать, как тесно связаны между собою вариационный принцип и требование полной устойчивости системы ${}^1$. Вместо этого мы предпочитаем, следуя другому направлению мысли, показать, что требование полной устойчивости тесно связано также с требованием обратимости во времени данной системы дифференциальных уравнений, если только мы дадим надлежащее обобщение обычному определению обратимости $\left({}^{21}\right)$.

Мы будем говорить, что данная система (5), имеющая в начале координат точку обобщенного равновесия, «обратима», если при замене $t$ на $-t$ вновь полученная система эквивалентна первоначальной по отношению к преобразованиям формальной группы.

При таком изменении знака переменной $t$ все множители системы тоже меняют свой знак, т.е. ${\lambda }_i$ переходит в $-{\lambda }_i$. Отсюда прежде всего
${}^1$ См. мою статью «Stability and the Equations of Dynamics», Amer. Journ. Math., vol. $49(1927)$.

очевидно, что для обратимой системы четного порядка эти множители разбиваются на пары, так что множители каждой пары одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. Нас интересует главным образом тот случай, когда эти множители являются, кроме того, чисто мнимыми количествами, между которыми не существует никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами. Мы будем, следовательно, считать, что эти условия устойчивости первого порядка выполнены.

Очевидно, что приведенное определение обратимости не зависит от выбранной системы зависимых переменных. Отсюда следует, что если мы имеем вполне устойчивую систему, то мы можем рассматривать ее в нормальной форме (6). Замена $t$ на $-t$ приводит нас к измененным уравнениям:
$$\frac{d{\overline{\xi }}_i}{dt}={\overline{M}}_i{\overline{\xi }}_i,\frac{d{\overline{\eta }}_i}{dt}={\overline{M}}_i{\overline{\eta }}_i(i=1,\dots ,m),$$

где мы пишем черту над буквами во избежание путаницы. Но от прежних уравнений к новым можно перейти посредством преобразования, принадлежащего формальной группе:
$${\xi }_i={\overline{\eta }}_i,{\eta }_i={\overline{\xi }}_i.$$

Следовательно, если какая-нибудь система (5) обладает устойчивостью первого порядка, то необходимым условием полной устойчивости такой системы будет обратимость ее в смысле вышеприведенного определения.

Остается только показать, что это простое необходимое условие является также достаточным.

Тот же процесс нормализации, который был применен в $\mathrm{\S }5$, приводит нас к нормальной форме более общего вида:
$$\frac{d{\xi }_i}{dt}=U_i{\xi }_i,\frac{d{\eta }_i}{dt}=V_i{\eta }_i$$

где $U_i,V_i$ — функции от $m$ произведений ${\xi }_1{\eta }_1,\dots ,{\xi }_m{\eta }_m$ с начальными членами соответственно ${\lambda }_i,-{\lambda }_i$. Это можно показать без помощи гипотезы полной устойчивости.

Если мы теперь заменим $t$ на $-t$, то эти нормализированные уравнения переходят в уравнения
$$\frac{d{\xi }_i}{dt}=-U_i{\xi }_i,\frac{d{\eta }_i}{dt}=-V_i{\eta }_i(i=1,\dots ,m).$$

По нашему предположению эти новые уравнения эквивалентны первоначальным уравнениям (7). Заметим теперь, что уравнения (8) имеют тот же вид, что и (7), с той только разницей, что ${\xi }_i$ и ${\eta }_i$ обменялись ролями и функции $-U_i,-V_i$ заменяют прежние $V_i,U_i$.

Легко доказать, с другой стороны, что самое общее преобразование, сохраняющее нормальную форму уравнений (7), имеет вид
$${\xi }_i={\overline{\xi }}_i{\overline{f}}_i,{\eta }_i={\overline{\eta }}_i{\overline{g}}_i(i=1,\dots ,m),$$

где ${\overline{f}}_i$ и ${\overline{g}}_i$ — произвольные степенные ряды относительно $m$ произведений ${\xi }_i{\eta }_i$ с постоянными членами, не равными нулю, и с коэффициентами, не зависимыми от $t$.

В том, что преобразования такого рода сохраняют нормальный вид уравнений (7), легко убедиться прямой подстановкой. Прежде всего замечаем, что обратное преобразование имеет такой же вид:
$${\overline{\xi }}_i={\xi }_i{h}_i,{\overline{\eta }}_i={\eta }_i{k}_i(i=1,\dots ,m),$$

причем
$${\overline{f}}_i{h}_i={\overline{g}}_i{k}_i=1.$$

Отсюда находим:
$$\frac{d{\overline{\xi }}_i}{dt}={\overline{U}}_i{\overline{\xi }}_i$$

где
$${\overline{U}}_i={\overline{f}}_i[h_i{U}_i+\sum _{j=1}^m\frac{\partial h_i}{\partial u_j}(U_j+V_J){\xi }_j{\eta }_j](u_i={\xi }_i{\eta }_i),$$

и такие же выражения для $d{\overline{\eta }}_i/dt$ при $i=1,\dots ,m\left({}^{22}\right)$.
Для доказательства того, что формулы (9) дают самый общий вид преобразований, сохраняющих нормальный вид, мы будем в формулах таких преобразований рассматривать последовательно члены первой, второй и т. д. степени.

Итак, рассмотрим члены первой степени в рядах, выражающих ${\overline{\xi }}_i,{\overline{\eta }}_i$ через ${\xi }_i,{\eta }_i$. Эти члены мы можем написать в виде
$$a{\xi }_i+b{\eta }_i,c{\xi }_i+d{\eta }_i\left({}^{23}\right)$$

соответственно, так что, например, имеем:
$$\frac{d}{dt}(a{\xi }_i+b{\eta }_i)=a{\lambda }_i{\xi }_i-b{\lambda }_i{\eta }_i+{\xi }_i\frac{da}{dt}+{\eta }_i\frac{db}{dt}+\cdots \equiv {\lambda }_i(a{\xi }_i+b{\eta }_i)+\cdots ,$$

если мы хотим, чтобы преобразование сохраняло нормальный вид уравнений, хотя бы только для членов первой степени. Отсюда мы заключаем, что $b$ равно нулю и что $a$ — постоянное число $\left({}^{24}\right)$.

Подобным же образом $c$ равно нулю и $d$ — постоянная сопряженная с $a\left({}^{25}\right)$.

Следовательно, ряды, дающие преобразования для переменных ${\xi }_i,{\eta }_i$ к новым ${\overline{\xi }}_i,{\overline{\eta }}_i$, имеют требуемые линейные члены.

Итак, самое общее преобразование, сохраняющее нормальную форму уравнений, может быть представлено как композиция линейного преобразования
$${\overline{\xi }}_i=a{\xi }_i,{\overline{\eta }}_i=a{\eta }_i,(i=1,\dots ,m),$$

принадлежащего группе преобразований (9), и преобразования вида
$${\overline{\xi }}_i={\xi }_i+F_i,{\overline{\eta }}_i={\eta }_i+G_i,$$

где $F_i,G_i$ начинаются с членов не ниже второй степени.
Обозначим через $F_{i2}$ и $G_{i2}$ однородные квадратичные слагаемые $F_i$ и $G_i$ соответственно. Таким образом, выписывая члены первой и второй степени, имеем:
$${\overline{\xi }}_i={\xi }_i+F_{i2}+\cdots ,{\overline{\eta }}_i={\eta }_i+G_{i2}+\cdots (i=1,\dots ,m)$$

и обратное преобразование
$${\xi }_i={\overline{\xi }}_i-{\overline{F}}_{i2}+\cdots ,{\eta }_i={\overline{\eta }}_i-{\overline{G}}_{i2}+\cdots (i=1,\dots ,m),$$

где ${\overline{F}}_{i2},{\overline{G}}_{i2}$ суть просто $F_{i2},G_{i2}$, в которых ${\xi }_i,{\eta }_i$ заменены на ${\overline{\xi }}_i,{\overline{\eta }}_i$ соответственно. Мы должны определить самый общий вид $F_{i2},G_{i2}$, при котором нормальная форма уравнений может сохраниться. Можно написать:
$$\frac{d{\overline{\xi }}_i}{dt}=U_i{\xi }_i+\sum _{j=1}^m{\lambda }_j({\xi }_j\frac{\partial F_{i2}}{\partial {\xi }_j}-{\eta }_j\frac{\partial F_{i2}}{\partial {\eta }_j})+\frac{\partial F_{i2}}{\partial t}+\cdots \equiv {\overline{U}}_i{\overline{\xi }}_i$$

при $i=1,\dots ,m$, откуда, сравнивая члены второй степени обеих частей, получаем:
$$-{\lambda }_i{F}_{i2}+\sum _{j=1}^m{\lambda }_j({\xi }_j\frac{\partial F_{i2}}{\partial {\xi }_j}-{\eta }_j\frac{\partial F_{i2}}{\partial {\eta }_j})+\frac{\partial F_{i2}}{\partial t}=0.\left({}^{26}\right)$$

Если при определении коэффициентов отдельных слагаемых $F_{i2}$ мы будем рассуждать, как в $\mathrm{\S }5$, то придем к заключению, что $F_{i2}$ должно обращаться в нуль. Подобным же образом найдем, что $G_{i2}$ равно нулю. Таким образом, наше преобразование имеет члены до второй степени включительно требуемого вида, и нам нужно теперь рассмотреть преобразование
$${\overline{\xi }}_i={\xi }_i+F_{i3}+\cdots ,{\overline{\eta }}_i={\eta }_i+G_{i3}+\cdots (i=1,\dots ,m)$$

и обратное преобразование
$${\xi }_i={\overline{\xi }}_i-{\overline{F}}_{i3}+\cdots ,{\eta }_i={\overline{\eta }}_i-{\overline{G}}_{i3}+\cdots (i=1,\dots ,m).$$

Мы приходим в этом случае к $m$ уравнениям
$$-{\lambda }_i{F}_{i3}+\sum _{j=1}^m{\lambda }_j({\xi }_j\frac{\partial F_{i3}}{\partial {\xi }_j}-{\eta }_i\frac{\partial F_{i3}}{\partial {\eta }_j})+\frac{\partial F_{i3}}{\partial t}={\xi }_i\mathrm{\Delta }{U}_{i2},$$

где $\mathrm{\Delta }{U}_{i2}$ обозначает разность между членами второй степени в ${\overline{U}}_i$ и в $U_i$, причем мы должны заменить в ${\overline{U}}_i$ все ${\overline{\xi }}_i,{\overline{\eta }}_i$ на ${\xi }_i,{\eta }_i$. Таким образом $\mathrm{\Delta }{U}_{i2}$ представляет собой линейную функцию этих $m$ произведений с постоянными коэффициентами. Но тем же способом, что и в §5, мы можем теперь показать, что всякий член $F_{i3}$ содержит множитель ${\xi }_i$ и что $F_{i3}$ имеет вид
$${\xi }_i\sum _{j=1}^m{c}_{ij}{\xi }_j{\eta }_j$$

Разумеется, $G_{i3}$ может быть представлено подобной же формулой, причем общим множителем, содержащимся во всех членах, является теперь ${\eta }_i$.

Следовательно, наше преобразование имеет указанный вид до членов третьей степени включительно. Но в этом случае это преобразование может быть представлено как композиция преобразования
$${\overline{\xi }}_i=a{\xi }_i+F_{i3},{\overline{\eta }}_i=d{\eta }_i+G_{i3}(i=1,\dots ,m),$$

принадлежащего к группе преобразований типа (9), и дальнейшего преобразования
$${\overline{\xi }}_i={\xi }_i+F_{i4},{\overline{\eta }}_i={\eta }_i+G_{i4},$$

так что мы можем повторить подобные же рассуждения относительно членов четвертой степени. Таким образом шаг за шагом мы приходим к доказываемому утверждению, что самый общий вид преобразований, сохраняющих нормальную форму (7), есть как раз (9).

Остается рассмотреть, в каких случаях возможно перейти посредством преобразования типа (9) от уравнений (7) к уравнениям (8), в которых мы будем теперь писать ${\overline{\xi }}_i,{\overline{\eta }}_i$ вместо ${\xi }_i,{\eta }_i$, чтобы, таким образом, различить две системы переменных ${\xi }_1,\dots ,{\eta }_m$ и ${\overline{\xi }}_1,\dots ,{\overline{\eta }}_m$. Если мы положим $u_1={\xi }_i{\eta }_i,{\overline{u}}_1={\overline{\xi }}_i{\overline{\eta }}_i,W_i=U_i+V_i$, то получим две системы уравнений относительно $u_i,\dots ,{\overline{u}}_m$ и ${\overline{u}}_1,\dots ,u_m$, а именно:
$$\begin{array}{ll}\frac{d{u}_i}{dt}=W_i(u_1,\dots ,u_m)u_i& (i=1,\dots ,m),\\ \frac{d{\overline{u}}_i}{dt}=-W_i({\overline{u}}_1,\dots ,{\overline{u}}_m){\overline{u}}_i& (i=1,\dots ,m),\end{array}$$

причем имеют место соотношения
$$\begin{array}{rl}{\overline{u}}_i=u_i{h}_i(u_1,\dots ,u_m)& k_i(u_1,\dots ,u_m)=\\ & =u_i{l}_i(u_1,\dots ,u_m)(i=1,\dots ,m).\end{array}$$

Кроме того, по вышеприведенным соображениям постоянное слагаемое ${\rho }_i$ в $l_i$ есть вещественное положительное число $\left({}^{27}\right)$. Легко показать теперь, что решения уравнений (10) и (11) могут быть связаны соотношением (12) только в том случае, если $W\equiv 0$.

Прежде всего напомним, что $U_i$ и $V_i$ имеют постоянные члены соответственно ${\lambda }_i$ и $-{\lambda }_i$, дающие в сумме нуль. Следовательно, ряд $W_i$ не имеет постоянного слагаемого, и при $W_{i}eq0$ этот ряд должен начинаться с членов некоторой положительной степени $r$. Обозначим сумму всех членов степени $r$ в $W_i$ через $W_{ir}$. Если мы произведем указанную замену переменных, то получим равенства
$$\frac{d{\overline{u}}_i}{dt}=-{\rho }_i{W}_{ir}({\rho }_1{u}_1,\dots ,{\rho }_m{u}_m)u_i+\cdots \equiv {\rho }_i{W}_{ir}(u_1,\dots ,u_m)u_i+\cdots ,$$

где выписаны явно только члены низшей степени $r+1$ относительно $u_1,\dots ,u_m$. Отсюда получаем, сравнивая эти низшие члены:
$$W_{ir}({\rho }_1{u}_1,\dots ,{\rho }_m{u}_m)+W_{ir}(u_1,\dots ,u_m)=0.$$

Рассмотрим теперь какой-нибудь член выражения $W_{ir}$, скажем,
$$c_i{u}_1^{{\alpha }_1}\dots u_m^{{\alpha }_m}({\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_m=r).$$

Последнее равенство дает
$$c_i(1+{\rho }_1^{{\alpha }_1}\dots {\rho }_m^{{\alpha }_m})=0,$$

что невозможно, если $c_{i}eq0$. Следовательно, все члены $W_{ir}$ должны обращаться в нуль, что противоречит предположению, что $r$ есть степень начальных членов $W_i$. Отсюда следует, что таких членов не существует, и значит, $W_i\equiv 0(i=1,\dots ,m)$. Иначе говоря, из требования обратимости вытекает, что уравнения (7) имеют вид
$$\frac{d{\xi }_i}{dt}=U_i{\xi }_i,\frac{d{\eta }_i}{dt}=-U_i{\eta }_i,$$

который, как мы знаем, характерен для случая полной устойчивости.
Если для какой-нибудь системы имеет место устойчивость первого порядка, то обратимость является необходимым и достаточным условием полной устойчивости обобщенного равновесия.

Случай обычного равновесия, разумеется, еще проще, чем только что рассмотренный случай обобщенного равновесия, и для него получаются результаты, вполне аналогичные изложенным выше.