Мы видели уже (глава IV, §1) как пфаффова система уравнений общего вида, не содержащая времени $t$ в явном виде, допускает приведение к подобной же системе с меньшим на единицу числом степеней свободы при условии, что мы ограничимся рассмотрением движений вблизи данного периодического движения. В приведенной системе, однако, независимая переменная появляется в дифференциальных уравнениях с периодом $\tau$, а данное периодическое движение принимает вид обобщенного равновесия.

В этом параграфе мы намерены рассмотреть периодические движения в окрестности данного периодического движения для гамильтоновых уравнений с двумя степенями свободы $(m=2)$ :
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}},
\]

в которых $H$ есть аналитическая функция от $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ не содержащая времени $t$. Однако такое периодическое движение допускает аналитическое продолжение с изменением постоянной энергии $H=h$ (глава $V, \S 9)$ и, следовательно, не изолировано.

Нашей целью будет рассмотреть те периодические движения, которые принадлежат тому же значению $h$, что и данное периодическое движение. Это значение может быть принято равным нулю.

Возможность приведения к пфаффовой системе с одной степенью свободы ( $m=1$ ) вместе с результатами предыдущего параграфа делает с самого начала весьма вероятным, что в окрестности данного периодического движения будет, вообще говоря, бесконечное множество периодических движений с большим периодом, если только данное периодическое движение устойчиво.

При рассмотрении этого вопроса мы сделаем дальнейшее допущение, что данная гамильтонова проблема связана с обыкновенной лагранжевой проблемой, имеющей главную функцию $L$, квадратичную относительно скоростей. Если $q_{1}, q_{2}$ суть координаты этой лагранжевой системы, то уравнения
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial q_{i}^{\prime}} \quad(i=1,2)
\]

служат, разумеется, для определения переменных $p_{1}, p_{2}$.
Пусть $q_{1}=q_{1}(t), q_{2}=q_{2}(t)$ будут уравнения, изображающие данное периодическое движение периода $\tau$, и рассмотрим соответствующую аналитическую кривую в плоскости $\left(q_{1}, q_{2}\right)$.

Очевидно, что мы можем ввести новую систему координат $\bar{q}_{1}, \bar{q}_{2}$ так, чтобы $\bar{q}_{2}$ обращалось в нуль вдоль периодического движения, а $q_{1}$ возрастало на $2 \pi$, когда точка проходит полный период периодического движения. Например, если кривая движения не имеет двойных точек, то ее можно деформировать в окружность с центром в начале координат, и тогда мы можем за $\bar{q}_{1}$ и $\bar{q}_{2}$ принять соответственно угол и радиальное смещение. Вообще же говоря, очевидно, что мы можем принять $\bar{q}_{1}=\frac{2 \pi t}{\tau}$ вдоль периодического движения. Разумеется, эта замена переменных $q_{1}, q_{2}$ на $\bar{q}_{1}, \bar{q}_{2}$ не изменит лагранжева характера динамической проблемы, но новая главная функция $L$ будет периодической относительно переменного $\bar{q}_{1}$ с периодом $2 \pi$.

Соответственная гамильтонова проблема будет иметь вид (13), где $H$ будет периодической функцией от $q_{1}$ периода $2 \pi$, причем для рассматриваемого периодического движения будем иметь $q_{1}=\frac{2 \pi t}{\tau}, q_{2}=0$. Из соответствующих гамильтоновых уравнений получим (также вдоль данного периодического движения):
\[
\frac{2 \pi}{\tau}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad 0=\frac{\partial H}{\partial p_{2}} .
\]

Очевидно теперь, что мы можем решить уравнение $H=h$ относительно $p_{1}$ и получить решение в виде
\[
p_{1}+K\left(q_{1}, p_{2}, q_{2}, h\right)=0,
\]

где $K$ есть вещественная однозначная аналитическая функция своих четырех аргументов, периодическая с периодом $2 \pi$ по $q_{1}$. Кроме того, мы можем рассматривать $h, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ как зависимые переменные, вместо $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$; мы замечаем, что уравнение (14) может быть разрешено относительно $h$, так как из соотношения $H=h$ мы получаем:
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial h}=1,
\]

так что $\partial p_{1} / \partial h
eq 0$ вдоль движения. После того, как мы подставим наши новые переменные $h, q_{1}, p_{2}, q_{2}$ вместо $p_{1}, q_{1}, p_{2}, q_{2}$, вариационный принцип (глава II, §10) примет вид
\[
\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(-K q_{1}^{\prime}+p_{2} q_{2}^{\prime}-2\right) d t=0,
\]

который приводит к четырем уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial K}{\partial h} \frac{d q_{1}}{d t}+1=0 ; \quad \frac{\partial K}{\partial h} \frac{d h}{d t}+\frac{\partial K}{\partial p_{2}} \frac{d p_{2}}{d t}+\frac{\partial K}{\partial q_{2}} \frac{d q_{2}}{d t}=0 ; \\
\frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial K}{\partial p_{2}} \frac{d q_{1}}{d t} ; \quad \frac{d p_{2}}{d t}+\frac{\partial K}{\partial q_{2}} \frac{d q_{1}}{d t}=0 .
\end{array}
\]

Из этих уравнений мы можем непосредственно вывести соотношение $h=$ const, справедливость которого, разумеется, и так известна.

Но очевидно, что в окрестности данного периодического движения $q_{1}$ может служить независимой переменной так же, как $t$. Исключив $t$ из предыдущих уравнений, получим:
\[
\frac{d p_{2}}{d q_{1}}=-\frac{\partial K}{\partial q_{2}}, \quad \frac{d q_{2}}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial p_{2}} .
\]

Здесь мы должны положить $h=0$ в функции $К$, которая является периодической функцией от $q_{1}$ периода $2 \pi$. Данное периодическое движение соответствует значениям $p_{2}, q_{2}$ :
\[
p_{2}=\varphi\left(q_{1}\right), \quad q_{2}=0,
\]

где $\varphi$ – периодическая функция $q_{1}$, с периодом $2 \pi$. Эти уравнения будут, очевидно, гамильтоновыми с одной степенью свободы ( $m=1$ ), и мы можем преобразовать их в гамильтонову систему с точкой обобщенного равновесия в начале координат, если положим
\[
\bar{p}_{2}=p_{2}-\varphi\left(q_{1}\right), \quad \bar{q}_{2}=q_{2},
\]

причем новой главной функцией будет
\[
\bar{K}=K+\varphi^{\prime}\left(q_{1}\right) q_{2} .
\]

И обратно, если мы имеем решение уравнений (16), то мы можем определить $t$ с помощью уравнения
\[
\frac{d t}{d q_{1}}=\frac{\partial K}{\partial h}
\]

и получить решение первоначальной системы, приняв за независимую переменную $t$. Таким образом, системы (13) и (16) эквивалентны ${ }^{1}$. Периодические движения в окрестности данного периодического движения для (13) соответствуют движениям с периодом $2 k \pi$ в окрестности начала координат для системы (16).

Для гамильтоновой проблемы (13), приводящейся к проблеме обобщенного равновесия устойчивого типа $(l
eq 0)$, существует бесконечное множество периодических движений в окрестности данного периодического движения, причем период каждого такого движения, вообще говоря,
${ }^{1}$ Относительно произведенных приведений см. Whittaker, Analytical Dynamics, гл. XII.

соответствует много раз повторенному периоду первоначального движения.

Это предложение, разумеется, получается непосредственным применением результатов § 1 этой главы к приведенной проблеме (16).