Мы видели уже (глава IV, §1) как пфаффова система уравнений общего вида, не содержащая времени $t$ в явном виде, допускает приведение к подобной же системе с меньшим на единицу числом степеней свободы при условии, что мы ограничимся рассмотрением движений вблизи данного периодического движения. В приведенной системе, однако, независимая переменная появляется в дифференциальных уравнениях с периодом $\tau$, а данное периодическое движение принимает вид обобщенного равновесия.

В этом параграфе мы намерены рассмотреть периодические движения в окрестности данного периодического движения для гамильтоновых уравнений с двумя степенями свободы $(m=2)$ :
$$\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i},\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i},$$

в которых $H$ есть аналитическая функция от $p_1,q_1,p_2,q_2$ не содержащая времени $t$. Однако такое периодическое движение допускает аналитическое продолжение с изменением постоянной энергии $H=h$ (глава $V,\mathrm{\S }9)$ и, следовательно, не изолировано.

Нашей целью будет рассмотреть те периодические движения, которые принадлежат тому же значению $h$, что и данное периодическое движение. Это значение может быть принято равным нулю.

Возможность приведения к пфаффовой системе с одной степенью свободы ( $m=1$ ) вместе с результатами предыдущего параграфа делает с самого начала весьма вероятным, что в окрестности данного периодического движения будет, вообще говоря, бесконечное множество периодических движений с большим периодом, если только данное периодическое движение устойчиво.

При рассмотрении этого вопроса мы сделаем дальнейшее допущение, что данная гамильтонова проблема связана с обыкновенной лагранжевой проблемой, имеющей главную функцию $L$, квадратичную относительно скоростей. Если $q_1,q_2$ суть координаты этой лагранжевой системы, то уравнения
$$p_i=\frac{\partial L}{\partial q_i^{\prime }}(i=1,2)$$

служат, разумеется, для определения переменных $p_1,p_2$.
Пусть $q_1=q_1(t),q_2=q_2(t)$ будут уравнения, изображающие данное периодическое движение периода $\tau$, и рассмотрим соответствующую аналитическую кривую в плоскости $(q_1,q_2)$.

Очевидно, что мы можем ввести новую систему координат ${\overline{q}}_1,{\overline{q}}_2$ так, чтобы ${\overline{q}}_2$ обращалось в нуль вдоль периодического движения, а $q_1$ возрастало на $2\pi$, когда точка проходит полный период периодического движения. Например, если кривая движения не имеет двойных точек, то ее можно деформировать в окружность с центром в начале координат, и тогда мы можем за ${\overline{q}}_1$ и ${\overline{q}}_2$ принять соответственно угол и радиальное смещение. Вообще же говоря, очевидно, что мы можем принять ${\overline{q}}_1=\frac{2\pi t}{\tau }$ вдоль периодического движения. Разумеется, эта замена переменных $q_1,q_2$ на ${\overline{q}}_1,{\overline{q}}_2$ не изменит лагранжева характера динамической проблемы, но новая главная функция $L$ будет периодической относительно переменного ${\overline{q}}_1$ с периодом $2\pi$.

Соответственная гамильтонова проблема будет иметь вид (13), где $H$ будет периодической функцией от $q_1$ периода $2\pi$, причем для рассматриваемого периодического движения будем иметь $q_1=\frac{2\pi t}{\tau },q_2=0$. Из соответствующих гамильтоновых уравнений получим (также вдоль данного периодического движения):
$$\frac{2\pi }{\tau }=\frac{\partial H}{\partial p_1},0=\frac{\partial H}{\partial p_2}.$$

Очевидно теперь, что мы можем решить уравнение $H=h$ относительно $p_1$ и получить решение в виде
$$p_1+K(q_1,p_2,q_2,h)=0,$$

где $K$ есть вещественная однозначная аналитическая функция своих четырех аргументов, периодическая с периодом $2\pi$ по $q_1$. Кроме того, мы можем рассматривать $h,q_1,p_2,q_2$ как зависимые переменные, вместо $p_1,q_1,p_2,q_2$; мы замечаем, что уравнение (14) может быть разрешено относительно $h$, так как из соотношения $H=h$ мы получаем:
$$\frac{\partial H}{\partial p_1}\frac{\partial p_1}{\partial h}=1,$$

так что $\partial p_1/\partial heq0$ вдоль движения. После того, как мы подставим наши новые переменные $h,q_1,p_2,q_2$ вместо $p_1,q_1,p_2,q_2$, вариационный принцип (глава II, §10) примет вид
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}(-K{q}_1^{\prime }+p_2{q}_2^{\prime }-2)dt=0,$$

который приводит к четырем уравнениям:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial K}{\partial h}\frac{d{q}_1}{dt}+1=0;\frac{\partial K}{\partial h}\frac{dh}{dt}+\frac{\partial K}{\partial p_2}\frac{d{p}_2}{dt}+\frac{\partial K}{\partial q_2}\frac{d{q}_2}{dt}=0;\\ \frac{d{q}_2}{dt}=\frac{\partial K}{\partial p_2}\frac{d{q}_1}{dt};\frac{d{p}_2}{dt}+\frac{\partial K}{\partial q_2}\frac{d{q}_1}{dt}=0.\end{array}$$

Из этих уравнений мы можем непосредственно вывести соотношение $h=$ const, справедливость которого, разумеется, и так известна.

Но очевидно, что в окрестности данного периодического движения $q_1$ может служить независимой переменной так же, как $t$. Исключив $t$ из предыдущих уравнений, получим:
$$\frac{d{p}_2}{d{q}_1}=-\frac{\partial K}{\partial q_2},\frac{d{q}_2}{d{q}_1}=\frac{\partial K}{\partial p_2}.$$

Здесь мы должны положить $h=0$ в функции $К$, которая является периодической функцией от $q_1$ периода $2\pi$. Данное периодическое движение соответствует значениям $p_2,q_2$ :
$$p_2=\phi \left(q_1\right),q_2=0,$$

где $\phi$ — периодическая функция $q_1$, с периодом $2\pi$. Эти уравнения будут, очевидно, гамильтоновыми с одной степенью свободы ( $m=1$ ), и мы можем преобразовать их в гамильтонову систему с точкой обобщенного равновесия в начале координат, если положим
$${\overline{p}}_2=p_2-\phi \left(q_1\right),{\overline{q}}_2=q_2,$$

причем новой главной функцией будет
$$\overline{K}=K+{\phi }^{\prime }\left(q_1\right)q_2.$$

И обратно, если мы имеем решение уравнений (16), то мы можем определить $t$ с помощью уравнения
$$\frac{dt}{d{q}_1}=\frac{\partial K}{\partial h}$$

и получить решение первоначальной системы, приняв за независимую переменную $t$. Таким образом, системы (13) и (16) эквивалентны ${}^1$. Периодические движения в окрестности данного периодического движения для (13) соответствуют движениям с периодом $2k\pi$ в окрестности начала координат для системы (16).

Для гамильтоновой проблемы (13), приводящейся к проблеме обобщенного равновесия устойчивого типа $(leq0)$, существует бесконечное множество периодических движений в окрестности данного периодического движения, причем период каждого такого движения, вообще говоря,
${}^1$ Относительно произведенных приведений см. Whittaker, Analytical Dynamics, гл. XII.

соответствует много раз повторенному периоду первоначального движения.

Это предложение, разумеется, получается непосредственным применением результатов § 1 этой главы к приведенной проблеме (16).