Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
При рассмотрении периодических движений устойчивого типа в динамических проблемах мы должны их разделить на два основных класса. Может случиться, что все движения, достаточно близкие к данному периодическому движению, остаются в малой окрестности его в течение всего времени. Это есть простейший из двух случаев, и в этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо «устойчивым». Или же может случиться, что существует такая малая окрестность данного периодического движения, что для нее мы можем найти движения, сколь угодно близкие к данному в начале, но выходящие, в конце концов, из данной окрестности. В этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо «неустойчивым».
Проведенная здесь классификация, очевидно, может быть применена не только к периодическим движениям, но также и к рекуррентным движениям любого типа. Устойчивость в этом фундаментальном качественном смысле не следует смешивать с ранее определенной, «полной формальной устойчивостью; периодическое движение устойчивого типа может быть или не быть устойчивым.
Преобразование $T$ поверхности $S$ дает нам немедленно простое условие устойчивости.
Рассмотрим малую область $s$ поверхности $S$, содержащую инвариантную точку, и образы $s_{1}, s_{2}, \ldots$ этой области при последовательном применении преобразования $T$. Все эти области содержат в качестве внутренней точки инвариантную точку. Бесконечная последовательность областей $s, s_{1}, \ldots$ будет лежать в окрестности инвариантной точки, вследствие нашего предположения об устойчивости движения. Все эти области вместе составляют некоторую окрестность $s$ инвариантной точки, которая переходит в свою часть при преобразовании $T$, так как области $s, s_{1}, \ldots$ переходят соответственно в $s_{1}, s_{2}, \ldots$ Но $\bar{s}$ не может переходить в свою собственную часть, вследствие существования инвариантного поверхностного интеграла. Следовательно, $\bar{s}$ является инвариантной областью в $S$, которой соответствует торообразная область многообразия $M$, заключающая внутри себя данное периодическое движение.
Необходимым и достаточным условием устойчивости является существование бесконечной последовательности инвариантных торообразных областей, сходящихся к данной кривой периодического движения в многообразии М состояний движения.
