До сих пор мы ограничивались рассмотрением непосредственной окрестности периодического движения. Мы обращаемся теперь к рассмотрению совокупности всех движений в многообразии $M$, которое мы будем считать замкнутым и аналитическим.

При этом мы будем предполагать, что существует секущая поверхность $S$ рода один и соответствующее преобразование $T$. Границы поверхности $S$ должны соответствовать периодическим движениям общего устойчивого типа, и $S$ пересекается в одном и том же направлении всякой кривой движения в $M$ по крайней мере один раз в течение любого, достаточно большого промежутка времени. Если мы будем двигаться от любой точки $P$ на поверхности $S$ вдоль кривой движения в направлении возрастающего времени, то пересечем снова $S$ в некоторой точке $P_{1}$; мы будем писать $P_{1}=T(P)$, определяя, таким образом, одно-однозначное аналитическое преобразование $T$ поверхности $S$ в себя, которое мы будем считать непрерывным вдоль границы $S$.

Мы не будем пытаться дать здесь формулировку условий, при которых возможно действительно построить такую секущую поверхность $S$. Подробности такого построения будут, по видимому, различными для различных случаев (см. главу VI), и их рассмотрение вряд ли дало бы нам особенно много. Такие секущие поверхности $S$ и связанные с ними преобразования $T$ существуют в весьма широких классах проблем.

Кроме того, мы сделаем предположение, что наша динамическая система транзитивна. Эта гипотеза, несомненно, справедлива в некоторых случаях, как показывает пример, приводимый ниже в $\S 11$, и, по всей вероятности, справедлива вообще, если только не имеются исключительные условия. Однако же, так как присутствие хотя бы одного устойчивого периодического движения, очевидно, влечет за собой интранзитивность, этот вопрос не может быть разрешен, пока не решена проблема устойчивости.

Если мы теперь интегрируем гипотезу транзитивности на поверхности $S$, то она будет означать, что каковы бы ни были точки $P_{0}$ и $Q_{0}$ на этой поверхности, всегда можно найти сколь угодно близкие к этим точкам точки $P, Q$ и целое число $n$ такие, что $Q=T^{n}(P)$.

Предположим теперь, что существует хоть одно периодическое движение общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах. Так как это движение неустойчиво, то для него имеется сеть, образованная соответственными связными множествами $\Sigma_{\alpha}$, и $\Sigma_{\omega}$.

Рассмотрим часть этой сети, отсекающую малую окрестность около инвариантной точки. Эта окрестность состоит из тех точек поверхности $S$, которых нельзя достигнуть извне данной области, содержащей инвариантную точку, не пересекая соответствующих ветвей $\Sigma_{\alpha}$ или $\Sigma_{\omega}$. Граница этой окрестности не состоит целиком из точек одного из множеств $\Sigma_{\alpha}$ или $\Sigma_{\omega}$. Иначе при безграничном повторении преобразования $T^{-1}$ или $T$ образы этой границы продолжали бы лежать в той же части $S$, и, таким образом, определилась бы инвариантная часть поверхности $S$. Вместе с тем очевидно, что при повторении, например, операции $T^{-1}$ часть границы, состоящая из точек $\Sigma_{\alpha}$, стремится к инвариантной точке, а часть, состоящая из точек $\Sigma_{\omega}$, должна в конце концов, достигнуть любой части $S$. В противном случае часть $S$, достигнутая образами $\Sigma_{\omega}$ и заключенная внутри них, даст нам также область поверхности $S$, инвариантную при преобразовании $T$, что исключено гипотезой транзитивности.

Следовательно, множества $\Sigma_{\alpha}$ и $\Sigma_{\omega}$, асимптотические к рассматриваемой инвариантной точке при преобразованиях соответственно $T^{-1}$ и $T$, оба всюду плотны на секущей поверхности $S$.

Мы уже видели ( $\S 1,2$ главы VIII), что вблизи такого периодического движения устойчивого типа существует бесконечное множество других периодических движений устойчивого типа, соответствующих инвариантным точкам поверхности $S$ относительно какой-нибудь степени $T^{n}$ преобразования $T$. Рассмотрим какое-нибудь такое движение, которое будет общего устойчивого типа с переменными периодами в формальных рядах. Для него существуют множества $\Sigma_{\alpha}^{\prime}$ и $\Sigma_{\omega}^{\prime}$, которые оба должны быть также всюду плотны в $S$. Но множества $\Sigma_{\alpha}$ и $\Sigma_{\alpha}^{\prime}$ не имеют общих точек, поскольку одно и то же движение не может быть асимптотическим к двум различным периодическим движениям в одном направлении (в данном случае в направлении отрицательных $t$ ). Аналогично не могут иметь общих точек множества $\Sigma_{\omega}$ и $\Sigma_{\omega}^{\prime}$.

Отсюда явствует, что множества $\Sigma_{\alpha}$ и $\Sigma_{\omega}^{\prime}$ имеют бесконечное множество общих точек, так же как и множества $\Sigma_{\alpha}^{\prime}$ и $\Sigma_{\omega}$.

В случае транзитивной системы с двумя степенями свободы, если существует периодическое движение общего устойчивого типа, $c$ переменными периодами в формальных рядах, то существует бесконечное множество других периодических движений общего устойчивого типа. Движения, положительно или отрицательно асимптотические $\kappa$ какому-нибудв из периодических движений этого бесконечного множества, образуют множества, всюду плотные в $S$. Существует бесконечное множество движений, асимптотических в направлении положительных $t$ одному из этих периодических движений и в то же время асимптотических в направлении отрицательных $t$ к любому другому периодическому движению этого множества или даже к тому же периодическому движению.

Мы рассмотрим теперь периодические движения неустойчивого типа и движения, асимптотические к ним.

Как мы уже видели, существуют аналитические семейства движений, асимптотических в положительном и отрицательном направлении к такому периодическому движению. В простейшем случае, рассмотрением которого мы можем ограничиться, имеются две, соответствующие этим семействам, инвариантные аналитические кривые, проходящие через инвариантную точку, причем точки одной из них дают движения, асимптотические в положительном, а точки другой – движения, асимптотические в отрицательном направлении к данному периодическому движению. Две дуги одной и той же инвариантной кривой, исходящие из инвариантной точки, не могут, разумеется, пересечься, как бы далеко мы их ни продолжили.

Наоборот, две дуги, принадлежащие разным инвариантным кривым, могут пересечься. В этом случае рассуждение, подобное тому, которое мы применяли выше к аналогичным кривым $\Sigma_{\alpha}, \Sigma_{\omega}$, покажет нам, что каждая из двух инвариантных кривых будет всюду плотна в $S$, и что обе кривые будут пересекаться в бесконечном множестве точек $\left({ }^{10}\right)$.

Кроме того, рассуждая как прежде, мы можем показать, что существует бесконечное множество движений, асимптотических в положительном направлении к заданному периодическому движению общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, или к заданному периодическому движению общего неустойчивого типа, имеющему двояко-асимптотические движения, и в то же время асимптотических в отрицательном направлении к заданному периодическому движению одного из этих двух типов.

Очевидно, что если две дуги положительно и отрицательно асимптотических типов для такого периодического движения неустойчивого типа пересекают сетку одного движения устойчивого типа, то они будут пересекать все такие сетки, а также друг друга.

Отсюда следует, что если мы докажем, что все четыре дуги, исходящие из инвариантной точки, пересекают эти сетки, то, очевидно, мы сможем распространить заключения, сделанные нами выше относительно движений, асимптотических к периодическим движениям устойчивого типа, на периодические движения неустойчивого типа. Мы докажем сейчас, что это действительно имеет место при условии, что, во-первых, асимптотическая аналитическая дуга, исходящая из одной инвариантной точки неустойчивого типа, не будет тождественна дуге, исходящей из другой такой точки, и, во-вторых, что в нашей системе не существует периодического движения общего устойчивого типа с неизменными периодами в формальных рядах. Случай, когда одно из этих условий не удовлетворяется, нужно считать совершенно исключительным. Мы будем проводить рассуждения только для того случая, когда в нашей системе не имеется кратных периодических движений, хотя заключение остается справедливым при гораздо более общих условиях.

Для того, чтобы доказать вышеприведенное утверждение, предположим, что одна из четырех дуг, принадлежащих к рассматриваемому периодическому движению неустойчивого типа, не пересекает этих сеток, и покажем, что это приведет к противоречию. Неограниченно продолжая эту дугу, мы получим на $S$ связное предельное множество $\Sigma$. Это множество $\Sigma$, очевидно, инвариантно при преобразовании $T$. Кроме того, вследствие этого обстоятельства и гипотезы транзитивности, $\Sigma$ не может ограничивать область. Поэтому согласно известной теореме, принадлежащей Брауверу $\left({ }^{11}\right)$, на $\Sigma$ существует точка, инвариантная при преобразовании $T$. Эта точка должна соответствовать периодическому движению неустойчивого типа, так как по предположению рассматриваемая асимптотическая дуга не может стремиться ни к гакому периодическому движению устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах.

Но теперь очевидно, что $\Sigma$ должно содержать по крайней мере две дуги, асимптотические (противоположного типа) к этой инвариантной точке, если только первоначально продолженная дуга не совпадает с одной из этих дуг. Но эта последняя возможность была тоже исключена.

Очевидно, что эти новые дуги в $\Sigma$ не пересекают сеток, принадлежащих к периодическим движениям устойчивого типа, и мы, следовательно, можем взять какую-нибудь одну из них, образуя, таким образом, совокупность $\Sigma_{1}$ в $\Sigma$. Продолжая далее этот процесс, мы придем, в конце концов, к множеству $\Sigma^{*}$ в $\Sigma$, содержащему минимальное количество инвариантных точек, соответствующих периодическим движениям неустойчивого типа, и асимптотических дуг. Любая дуга в таком множестве $\Sigma^{*}$, продолженная исходя из инвариантной точки, должна, следовательно, иметь эту точку в качестве предельной, и будут существовать по крайней мере две такие дуги противоположных типов, асимптотические к одной и той же инвариантной точке.
Рассмотрим отдельно случаи, когда
Рис. 8

будут существовать две, три или четыре такие дуги, асимптотические к инвариантной точке $I$ (рис. 8).

В первом случае пусть $I J$ и $I M$ будут дуги в $\Sigma^{*}$, асимптотические соответственно в положительном и отрицательном направлении. Но дуга $I M$, если мы ее продолжим, должна вернуться в окрестность $I$, что она может сделать только вдоль $I J$. Пусть кривая $I J K L M$ будет построена следующим образом: $J K$ – короткая криволинейная дуга, пересекающая $I J$ в точке $J ; K L$ – дуга, составленная из дуги $K K_{1}$, соединяющей точку $K$ с ее образом $K_{1}$ вблизи $I J$, и образов $K_{1} K_{2}, K_{2} K_{3}, \ldots$ этой дуги, взятых до тех пор, пока мы не приходим к точке $L$, лежащей близко от $I M ; L M$ – короткий отрезок. Криволинейный многоугольник $I J K^{\prime} L^{\prime} M^{\prime}$ можно подобным же образом построить по другую сторону от $I J$. Продолжение дуги $I M$ не может приближаться к $I J$, пересекая $J K^{\prime} K_{1}^{\prime}$, потому что тогда дуга $I M^{\prime}$ тоже лежала бы в $\Sigma^{*}$. Следовательно, это продолжение пересекает $J K K_{1}$. Подобным же образом продолжение $I J$ пересекает $M L L_{-1}$. Топология фигуры показывает, что продолжения $I M$ и $I J$ будут пересекаться, что противоречит сделанному предположению.

Предположим теперь, что три дуги, например, $I J$ одного типа и $I M, I M^{\prime}$ другого, лежат в $\Sigma^{*}$. Отсюда следует, как выше, что продолжение $I J$ пересечет $M L L_{-1}$ и $M^{\prime} L^{\prime} L_{-1}^{\prime}$. Но, если продолжение дуги $I J$ не пересекает ни $I M$, ни $I M^{\prime}$, то из топологии фигуры очевидно, что $I M$ пересечет $J K^{\prime} K_{1}^{\prime}$ и также $I M^{\prime}$ пересечет $J K K_{1}$. Таким образом, $I M$ и $I M^{\prime}$ должны обязательно пересекаться, что невозможно, так как эти дуги принадлежат к одному и тому же типу.

Остается рассмотреть случай, когда все четыре дуги лежат в $\Sigma^{*}$. В этом случае дуга $I M$, если мы ее продолжим, должна пересекать линию $K_{1} K J K^{\prime} K_{1}^{\prime}$. Но $I M$ не может пересекать $J K^{\prime} K_{1}^{\prime}$, потому что тогда продолжение $I J$ не могло бы приближаться к $I M^{\prime}$, что видно из рассмотрения фигуры. Следовательно, $I M$ должно пересекать $J K K_{1}$ и подобным же образом $I M^{\prime}$ должно пересекать $J K^{\prime} K_{1}^{\prime}$. Но то же рассуждение, которое мы применяли к $I J$, покажет, если мы его приложим к $I M$, то $I J$ должно пересекать $M L L_{-1}$. Следовательно, $I J$ и $I M$ должны пересекаться, что невозможно.
Мы можем теперь формулировать наше заключение.
Предположим, что для какой-нибудь динамической проблемы транзитивного типа с двумя степенями свободы имеется секущая поверхность $S$ рода один. Предположим, кроме того, что все периодические движения общего устойчивого типа содержат переменные периоды в своих формальных рядах и что никакие два аналитических асимптотических семейства, связанных с различными периодическими движениями неустойчивого типа, не совпадают.

Iри этих условиях каждое из этих асимптотических семейств плотно в $M$ и имеется бесконечное множество движений, асимптотических в обоих направлениях к двум любым (различным или совпадающим) периодическим движениям, безразлично устойчивого или неустойчивого типа.

Сделанное нами специально предположение о несуществовании кратных периодических движений несущественно для доказательства этого предложения; оно было сделано для упрощения доказательства, которое приведено здесь в предположении, что мы имеем дело с этим общим случаем.

Высказанный результат делает очевидной некоторую аналогию между движениями устойчивого и неустойчивого типа.

Выше было показано, что в любой окрестности периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, существуют соседние периодические движения как устойчивого, так и неустойчивого типа. Естественно, возникает вопрос: имеются ли подобно этому периодические движения, сколь угодно близкие к какому-нибудь периодическому движению неустойчивого типа? Конечно, такое движение не может оставаться вблизи данного периодического движения в течение всего периода. На этот вопрос может быть дан утвердительный ответ. А именно, можно показать, что когда обе асимптотические аналитические ветви периодического движения неустойчивого типа пересекаются, то будет существовать бесконечное множество периодических движений, проходящих через сколь угодно малую окрестность соответствующих двояко-асимптотических движений и данного периодического движения неустойчивого типа ${ }^{1}$.

Таким образом, можно сказать, что множество всех периодических движений как устойчивого, так равно и неустойчивого типа будет в известном смысле плотно в себе в очень широком классе случаев.

Предположение Пуанкаре, что эти периодические движения всюду плотны, как мы видели, не всегда оправдывается (см. главу VI, §4), но оно, несомненно, является справедливым в весьма широком классе случаев.