В большинстве динамических приложений лагранжевы системы можно рассматривать как системы частиц, находящихся под действием известных сил и геометрических связей. Этот способ внутренней характеризации, послуживший Лагранжу основой для вывода его уравнений, будет вкратце рассмотрен в этом параграфе.

В следующем параграфе мы рассмотрим внешнюю характеризацию лагранжевых систем.

Начнем с рассмотрения трех частных типов частиц в обычном пространстве:
a) ИНЕРЦИАЛЬНАЯ чАСТИЦА.
Если $x, y, z$ будут обозначать прямоугольные координаты частицы, то внешние силы $X, Y, Z$, действующие в направлениях, параллельных осям координат, пропорциональны составляющим ускорения в этих направлениях.
\[
X=m x^{\prime \prime}, \quad Y=m y^{\prime \prime}, \quad Z=m z^{\prime \prime},
\]

где коэффициент пропорциональности $m$ называется «массой» частицы.
Примером может служить обычная материальная частица.
Очевидно, частица будет лагранжевого типа с функцией Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2} m\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{2}\right) .
\]
$L$ есть «кинетическая энергия» частицы.
b) НЕКИНЕТИЧЕСКАЯ частИцА.
Такая частица подвержена силам, не зависящим от скорости и имеющим следующий вид:
\[
X=-\frac{\partial V}{\partial x}, Y=-\frac{\partial V}{\partial y}, Z=-\frac{\partial V}{\partial z},
\]

где $V$ есть функция координат частицы в пространстве. Эта динамическая система тоже лагранжева и для нее $L=V$.

Функция $V$ есть «потенциальная энергия» частицы, обязанная своим возникновением полю сил, в котором частица движется.

Почти к этому типу принадлежит наэлектризованная частица с ничтожной массой в статическом электрическом поле.
c) ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ ЧАСТИЦА.
По определению гироскопической называется частица, подверженная действию сил, имеющих составляющие вдоль осей, вида
\[
X=\left(\frac{\partial \alpha}{\partial y}-\frac{\partial \beta}{\partial x}\right) y^{\prime}+\left(\frac{\partial \alpha}{\partial z}-\frac{\partial \gamma}{\partial x}\right) z^{\prime},
\]

так что вектор силы перпендикулярен вектору скорости и сила, следовательно, не совершает никакой работы. Тем не менее, система является лагранжевой с главной функцией, равной
\[
L=\alpha x^{\prime}+\beta y^{\prime}+\gamma z^{\prime} .
\]

Отметим, что эта система представляет собой случай лагранжевой системы, являющейся одновременно системой, лишенной энергии.

К этому типу принадлежит, например, наэлектризованная частица, движущаяся в статическом магнитном поле.
d) Система «0БоБщенных» частиц.
Если частица движется под действием сил, представляющих собою сумму сил инерциального, некинетического и гироскопического типов, то такую частицу можно назвать «обобщенной» частицей. Примером может служить обыкновенная материальная частица, движущаяся в поле тяготения. Такая система, очевидно, будет лагранжевой, и главная функция ее будет просто суммой главных функций, связанных со слагающими силами.

Рассмотрим далее совокупность таких частиц, которые никаким образом не взаимодействуют между собою. Если мы сложим лагранжевы функции различных частиц, то мы получим функцию $L$, из которой можно вывести уравнения движения системы частиц.

Конечно, при этом необходимо различать координаты различных частиц, употребляя для них разные переменные $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, где $i=$ $=1, \ldots, m$.

Очевидно, что в этом случае мы имеем главную функцию, квадратичную по отношению к скоростям. Естественным обобщением этих систем будут такие системы, главная функция которых – любой квадратичный относительно скоростей полином. Однородное, квадратичное относительно скоростей, слагаемое $T$ будет кинетическая энергия системы, слагаемое $U$, не зависящее от скоростей, – ее потенциальная энергия, а слагаемое однородное, линейное относительно скоростей, можно назвать «гироскопической энергией».

Кроме того, как мы видели, мы можем подчинить наши частицы различного рода геометрическим связям и таким образом уменьшить число степеней свободы, не нарушая лагранжева характера системы.

Рассмотрение таких систем «обобщенных» частиц бывает достаточно для большинства приложений.
е) ОБОБЩЕННАЯ ЧАСТИЦА В $m$-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
Естественным обобщением предыдущих рассуждений, на котором мы не будем здесь останавливаться, можно показать, что одна материальная частица, лежащая на $m$-мерном многообразии, определенном квадратичной дифференциальной формой, находящаяся в поле сил, вызванном потенциальной функцией на поверхности, и подчиненная кроме того гироскопическим силам, зависящим от какой-нибудь линейной функции скоростей на поверхности, будет типа Лагранжа. Ее функция $L$ будет квадратичной функцией от скоростей. И обратно, всякая лагранжева система с $m$ степенями свободы и с функцией $L$, квадратичной относительно скоростей, может быть представлена движением материальной частицы на таком $m$-мерном многообразии.

Следовательно, движение любой динамической системы с $m$ степенями свободы можно представить изоморфным движением одной обобщенной частицы на надлежащей $m$-мерной поверхности.