При методе аналитического продолжения Хилла и Пуанкаре мы исходим из известного периодического движения и получаем аналитическое продолжение его при изменении параметра $c$.

Для определенности мы будем рассматривать систему уравнений Гамильтона:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $H$ есть аналитическая функция от $p_{1}, \ldots, q_{m}, t, c$, периодическая относительно $t$ с периодом $2 \pi$. Кроме того, мы предположим, что начало координат есть точка обобщенного равновесия при $c=0$.

Посредством надлежащего предварительного преобразования переменных, подобного тому, которое мы делали в § 7 главы III, мы можем при $c=0$ привести $H$ к нормальному виду:
\[
H=-\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} p_{j} q_{j}+H_{3}+\cdots,
\]

если $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ различны.
Но общее решение данной системы может быть написано в виде
\[
p_{i}=p_{i}\left(p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}, t, c\right), \quad q_{i}=q_{i}\left(p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}, t, c\right)
\]
(для $i=1, \ldots, m$ ), где $p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$ обозначают значения соответственно $p_{1}, \ldots, q_{m}$ при $t=0$.

Условие периодичности в этом случае выражается системой $2 m$ уравнений:
\[
p_{i}\left(p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}, 2 \pi, c\right)=p_{i}^{0}, q_{i}\left(p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}, 2 \pi, c\right)=q_{i}^{0} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

В эти формулы, как мы видели в главе I (§5), все переменные входят аналитически. Но для $c=0$ эта система уравнений по предположению имеет решение
\[
p_{1}^{0}=\ldots=q_{m}^{0}=0 .
\]

Следовательно, будет существовать единственное решение $p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$, аналитическое относительно $c$, при условии, что функциональный определитель
\[
\left|\begin{array}{cccc}
\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{1}^{0}}-1 & \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{2}^{0}} & \cdots & \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{m}^{0}} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{\partial q_{m}}{\partial p_{1}^{0}} & \frac{\partial q_{m}}{\partial p_{2}^{0}} & \cdots & \frac{\partial q_{m}}{\partial q_{m}^{0}}-1
\end{array}\right|
\]

не обращается в нуль при $t=2 \pi, c=0$. Но $2 m$ функций
\[
\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{i}^{0}}, \ldots, \frac{\partial q_{m}}{\partial p_{i}^{0}}
\]
$(i=1, \ldots, m)$ образуют решение уравнений вариации, так же как и функции
\[
\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i}^{0}}, \ldots, \frac{\partial q_{m}}{\partial q_{i}^{0}}
\]
$(i=1, \ldots, m)$. Все эти функции, кроме того, обращаются в нуль при $t=0$, кроме $\partial p_{i} / \partial p_{i}^{0}$ и $\partial q_{i} / \partial q_{i}^{0}$, которые равны 1 для $i=1, \ldots, m$.

Известный нам уже вид квадратичных членов $H$ при $c=0$ дает уравнения вариации:
\[
\frac{d y_{i}}{d t}=\lambda_{i} y_{i}, \quad \frac{d z_{i}}{d t}=-\lambda_{i} z_{i} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

где $y_{i}, z_{i}$ соответствуют $p_{i}, q_{i}$. Следовательно, вышеприведенные решения имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{cccc}
e^{\lambda_{1} t}, & 0, & \cdots, & 0, \\
0, & e^{\lambda_{2} t}, & \cdots, & 0, \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0, & 0, & \cdots, & e^{-\lambda_{m} t},
\end{array}
\]

где единственными отличными от нуля элементами будут те, которые лежат на главной диагонали, а именно:
\[
e^{\lambda_{1} t}, \ldots, e^{\lambda_{m} t}, \quad e^{-\lambda_{1} t}, \ldots, e^{-\lambda_{m} t} .
\]

Следовательно, выписанный выше определитель равен:
\[
\prod_{i=1}^{m}\left(e^{2 \pi \lambda_{i}}-1\right)\left(e^{-2 \pi \lambda_{i}}-1\right)
\]

и отличен от нуля, если только какой-нибудь из множителей $\lambda_{i}$ не будет целым кратным $\sqrt{-1}$.

Таким образом, при этих условиях мы имеем аналитическое семейство решений
\[
p_{1}(t, c), \ldots, q_{m}(t, c),
\]

периодических с периодом $2 \pi$ относительно $t$, что и требовалось доказать.

Ограничения, наложенные нами на динамическую систему при этом доказательстве, могут быть значительно смягчены. Прежде всего подобный нормальный вид решения существует и в том случае, когда не все множители $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ различны. Пусть, например, $\lambda_{1}=\lambda_{2}$, в то время как $\lambda_{s}, \ldots, \lambda_{m}$ отличны друг от друга и от $\lambda_{1}$. Вообще говоря, первое и второе решения уравнений вариации имеют теперь вид:
\[
\begin{array}{rr}
0, \quad e^{\lambda_{1} t}, & 0, \ldots, 0 \\
e^{\lambda_{1} t}, t e^{\lambda_{1} t}, & 0, \ldots, 0 .
\end{array}
\]

Также $(m+1)$-е и $(m+2)$-е решения имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
0, e^{-\lambda_{1} t}, 0, \ldots, 0, \\
e^{-\lambda_{1} t}, t e^{-\lambda_{1} t}, 0, \ldots, 0 \\
\end{array}
\]

соответственно. Если переставим первый и второй ряд, а также $(m+1)$-й и $(m+2)$-й ряд, то получим определитель, все элементы которого ниже диагонали обращаются в нуль, а все элементы главной диагонали и, следовательно, он сам не равны нулю, если только среди множителей $\lambda_{i}$ нет ни одного, который был целым кратным $\sqrt{-1}\left({ }^{13}\right)$.

Но такой множитель указывал бы ни более, ни менее, как на существование периодического решения уравнений вариации с тем же периодом $2 \pi$, что и данное движение. Будем называть точку обобщенного равновесия «простой», если для нее не существует решения уравнений вариации с тем же периодом, что у самой точки обобщенного равновесия, и «кратной», если такое решение существует.

Аналитическое продолжение обобщенного равновесия всегда возможно, пока равновесие остается простым.
Заменой переменных
\[
p_{i}=p_{i}(t, c)+P_{i}, \quad q_{i}=q_{i}(t, c)+Q_{i} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

мы получаем новые уравнения Гамильтона:
\[
\frac{d P_{i}}{d t}=-\frac{\partial H^{*}}{\partial Q_{i}}, \quad \frac{d Q_{i}}{d t}=\frac{\partial H^{*}}{\partial P_{i}} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где
\[
H^{*}=H+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j}^{\prime} Q_{j}-q_{j}^{\prime} P_{j}\right) .
\]

Они принадлежат к тому же типу, что прежние, но имеют точку обобщенного равновесия в начале координат при всех малых значениях параметра с. Решение в формальных рядах такой системы дифференциальных уравнений, разумеется, содержит параметр $c$. Именно такого рода формальные ряды оказываются часто полезными в приложениях; при этом равенство нулю параметров, аналогичных $c$, может соответствовать специальному интегрируемому случаю динамической проблемы, когда периодическое движение, из которого мы исходим, может быть выражено в явном виде.