Иногда динамической проблеме может быть придана другая, совершенно новая форма. Решения $n$ дифференциальных уравнений первого порядка с правыми частями, не зависящими от $t$, можно изобразить в виде постоянного $n$-мерного потока жидкости таким образом, что координатами движущейся точки жидкости будут являться зависимые переменные. Предположим теперь, что в этом «многообразии состояний движения» может быть построена замкнутая ( $n-1$ )-мерная аналитическая поверхность $S$ такая, что каждая линия потока пересекает $S$ по крайней мере один раз в течение любого промежутка времени $\tau$ и притом каждый раз в одном направлении. Тогда такую поверхность $S$ можно назвать «секущей поверхностью» («surface of section»). Если из точки $P$, лежащей в $S$, мы будем двигаться по линии потока, проходящей через $P$ в направлении увеличивающегося времени, то мы пересечем $S$ снова в некоторой точке $P_{1}$. Таким образом, определяется одно-однозначное аналитическое преобразование секущей поверхности $S$ в себя, а именно, преобразование $T$, переводящее каждую точку $P$ в соответственную точку $P_{1}$.

Отсюда мы видим, что можно связать данную динамическую проблему с дискретным преобразованием $T$ замкнутой ( $n-1$ )-мерной поверхности в себя. Свойства движения в этом случае отражаются в свойствах преобразования $T$. Например, периодичность движения, изображаемого в многообразии состояний движения замкнутой кривой, пересекающей $S$ в точках $P, P_{1}, \ldots, P_{k-1}$, отражается в символических равенствах:
\[
P_{1}=T(P), \quad P_{2}=T\left(P_{1}\right), \ldots, \quad P=T\left(P_{k-1}\right),
\]

означающих, что $P, P_{1}, \ldots, P_{k-1}$ все суть инвариантные точки по отношению к $k$-й степени преобразования $T$. Обратно, если $P$ инвариантно по отношению к $T^{k}$, то через $P$ проходит соответствующее периодическое движение, пересекающее $S$ в точках $P, T(P), \ldots, T^{k-1}(P)$.

Секущая поверхность в вышеприведенном смысле будет существовать только в том случае, если в многообразии состояний движения существует угловая координата $\varphi$, определенная таким образом, что она постоянно возрастает вдоль всякой линии потока. В необходимости этого условия можно убедиться путем следующего рассуждения. Если секущая поверхность $S$ существует, то определим $\varphi$ как равную нулю на этой поверхности и равную $\frac{2 \pi t}{\tau}$ в любой другой точке $P$, где $\tau-$ полный интервал времени, необходимый для того, чтобы пройти от $S$ до $S$ вдоль той линии потока, на которой $P$ лежит. Очевидно, что $\varphi-$ аналитическая функция $\left({ }^{14}\right)$ положения точки, увеличивающаяся ровно на $2 \pi$ между двумя пересечениями линии потока с $S$. Следовательно, угловая координата существует. Обратно, если такая координата существует, то уравнение $\varphi=0$ даст секущую поверхность.

Необходимым и достаточным условием существования замкнутой секущей поверхности является существование переменного угла $\varphi$ в многообразии состояний движения, постоянно возрастающего вдоль всякой линии потока.

Точнее говоря, должно иметь место дифференциальное неравенство
\[
\frac{d \varphi}{d t}=\sum_{j=1}^{n} \Phi_{j} X_{j}>0,
\]

где $\Phi_{i}$ удовлетворяют условию интегрируемости
\[
\frac{\partial \Phi_{i}}{d x_{j}}=\frac{\partial \Phi_{j}}{d x_{i}} \quad(i, j=1, \ldots, n),
\]

а $X_{1}, \ldots, X_{n}$ обозначают, как обычно, правые части дифференциальных уравнений.

В некоторых динамических проблемах мы встречаемся с крайне интересным типом секущих поверхностей, имеющих границы. Границы эти суть замкнутые аналитические ( $n-2$ )-мерные поверхности, состоящие из линий потока, и всякая линия потока, не лежащая на границе $S$, пересекает $S$ по крайней мере однажды в течение каждого достаточно большого интервала времени $\tau$ и притом всегда в одном направлении.

В случае, когда $n$ равно 3 , секущая поверхность – двумерная, и границами ее поэтому будут замкнутые кривые, соответствующие отдельным периодическим движениям. Но как раз в случае гамильтоновой или пфаффовой динамической проблемы с двумя степенями свободы применение интеграла энергии понижает порядок системы до $n=3$. Для таких проблем, по-видимому, вообще существует секущая поверхность, что будет видно в следующей главе ${ }^{1}$. Пример, приведенный в
${ }^{1}$ См. мою цитированную статью (§22-29).

следующем параграфе, показывает возможность подобной секущей поверхности и для случая числа степеней свободы, большего двух. Однако в этом случае нам приходится иметь дело с ( $n-2)$-мерными аналитическими замкнутыми поверхностями, состоящими из линий потока, а такие поверхности, вообще говоря, по-видимому, не существуют.

Весьма большой интерес представляет также случай открытой аналитической секущей поверхности вроде той, которую Купмен ${ }^{1}$ получил во внешнем случае ограниченной проблемы трех тел.

Во всех этих трех случаях очевидно, что посредством приведения динамической задачи к проблеме преобразования определение периодического движения может быть сведено к задаче разыскания инвариантных точек на секуцей поверхности $S$ при преобразовании $T$ и его степеней.