Главная > ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Мы видели уже, что пфаффовы и гамильтоновы системы уравнений обладают свойством полной устойчивости в случае, если характеристические числа их будут чисто мнимыми. Естественно возникает очень интересный вопрос об отыскании условий полной устойчивости системы в наиболее общем случае и о характеристике движений вблизи точки обобщенного равновесия, обладающего такой полной устойчивостью. Мы ответим на эти вопросы, приведя уравнения вполне устойчивого типа к некоторому определенному «нормальному» виду. Так как $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}-$ чисто мнимые количества, различные между собою, то мы можем произвести такое линейное преобразование переменных $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, что система уравнений в новых переменных $p_{1}, q_{1}, \ldots, p_{m}, q_{m}$ будет иметь вид
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\lambda_{i} p_{i}+P_{i}, \quad \frac{d q_{i}}{d t}=\lambda_{i} q_{i}+Q_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $p_{i}$ и $q_{i}$ – сопряженные комплексные переменные, а $P_{i}, Q_{i}$ – ряды, начинающиеся с членов не ниже второй степени $\left({ }^{14}\right)$.
Произведем теперь вторую замену переменных
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\bar{\varphi}_{i 2}, \quad q_{i}=\bar{q}_{i}+\bar{\psi}_{i 2} \quad(i=1, \ldots, m) ;
\]

здесь $\bar{\varphi}_{i 2}$ и $\bar{\psi}_{i 2}$ – однородные квадратичные полиномы относительно $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$, коэффициенты которых суть аналитические периодические функции от $t$. Легко видеть, что дифференциальные уравнения сохранят свой вид с новыми $P_{i}, Q_{i}$, которые будут иметь однородные квадратичные слагаемые вида
\[
\begin{array}{c}
P_{i 2}+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial p_{j}}-q_{j} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial q_{j}}\right) \lambda_{j}-\lambda_{i} \varphi_{i 2}-\frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial t} \\
Q_{i 2}+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} \frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial p_{j}}-q_{j} \frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial q_{j}}\right) \lambda_{j}+\lambda_{i} \psi_{i 2}-\frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial t}
\end{array}
\]

соответственно. Рассматривая эти выражения, мы легко убеждаемся, принимая во внимание несоизмеримость множителей $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$, что эти новые $P_{i 2}$ и $Q_{i 2}$ можно обратить в нуль надлежащим выбором $\varphi_{i 2}$ и $\psi_{i 2}$ одним и только одним способом. В самом деле, пусть
\[
P(t) p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{m}^{\alpha_{m}} q_{1}^{\beta_{1}} \ldots q_{m}^{\beta_{m}} \quad\left(\alpha_{1}+\cdots+\beta_{m}=2\right)
\]

будет какой-нибудь член $P_{i 2}$ и пусть коэффициентом подобного члена $\varphi_{i 2}$ будет $\varphi(t)$. Из написанного выше выражения для нового $P_{i 2}$ будет тогда следовать дифференциальное уравнение для $\varphi(t)$ :
\[
P(t)+\left[\sum_{j=1}^{m}\left(\alpha_{j}-\beta_{j}\right) \lambda_{j}-\lambda_{i}\right] \varphi-\frac{d \varphi}{d t}=0,
\]

которое может быть удовлетворено периодической функцией с периодом $\tau$, если только коэффициент при $\varphi$ не будет кратным $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$, что невозможно на основании нашего предположения о несоизмеримости. Такое периодическое решение будет, кроме того, единственным (см. главу III, $\S 9$ ).

Таким образом, мы можем обратить в нуль все члены второй степени в $P_{i}, Q_{i}\left({ }^{15}\right)$.

Совершенно подобным же способом мы можем посредством преобразования вида
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+\bar{\varphi}_{i 3}, \quad q_{i}=\bar{q}_{i}+\bar{\psi}_{i 3} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

обратить в нуль все члены третьей степени в $P_{i}, Q_{i}$, за исключением тех, для которых выражения
\[
\sum_{j=1}^{m}\left(\alpha_{j}-\beta_{j}\right) \lambda_{j}-\lambda_{i}, \quad \sum_{j=1}^{m}\left(\alpha_{j}-\beta_{j}\right) \lambda_{j}+\lambda_{i}, \quad\left(\alpha_{1}+\cdots+\beta_{m}=3\right)
\]

обращаются в нуль. Эти исключительные члены имеют вид:
\[
P(t) p_{i} p_{j} q_{j}, \quad Q(t) q_{i} p_{j} q_{j} \quad(j=1, \ldots, m) .
\]

Но даже и для этих членов функции $\varphi$ и $\psi$ могут быть выбраны таким образом, чтобы новые коэффициенты, а именно:
\[
P(t)-\frac{d \varphi}{d t}, \quad Q(t)-\frac{d \psi}{d t}
\]

были постоянными числами (см. главу III, §9). Следовательно, возможно привести $P_{i}, Q_{i}$ к следующему нормальному виду:
\[
\begin{aligned}
P_{i} & =p_{i}\left(c_{i 1} p_{1} q_{1}+\cdots+c_{i m} p_{m} q_{m}\right)+\ldots, \\
Q_{i} & =q_{i}\left(d_{i 1} p_{1} q_{1}+\cdots+d_{i m} p_{m} q_{m}\right)+\ldots,
\end{aligned}
\]

где мы выписали в правых частях члены третьей степени $P_{i 3}$ и $Q_{i 3}\left({ }^{16}\right)$.
Следующим нашим шагом необходимо показать, что в случае полной устойчивости выражения $P_{i 3}$ и $Q_{i 3}$ должны удовлетворять дополнительным соотношениям
\[
q_{i} P_{i 3}+p_{i} Q_{i 3}=0 \quad(i=1, \ldots, m),
\]
т. е. $c_{i j}+d_{i j}=0(i, j=1, \ldots, m)$. Для того, чтобы доказать это утверждение, мы воспользуемся следующей, почти очевидной, леммой.
Лемма о тригонометрических суммах. Пусть нам дана последовательность тригонометрических сум.м вида
\[
\sum_{j=1}^{N}\left(A_{j} \cos l_{j} t+B_{j} \sin l_{j} t\right) \quad\left(\left|l_{i}-l_{j}\right|>l>0\right),
\]

где $N, l$ суть постоянные количества, а $A_{i}, B_{i}, l_{i}$ изменяются, причем, однако, во всех суммах $l_{0}=0$. Если эта последовательность стремится к пределу $\varphi(t)$ равномерно в некотором интервале, то $\varphi(t)$ само является в этом интервале тригонометрической суммой порядка не выше $N$.

Доказательство этой простой леммы мы отложим до следующего параграфа.

Рассмотрим квадратичные полиномы $p_{i} q_{i}$. Из данных дифференциальных уравнений находим:
\[
\frac{d\left(p_{i} q_{i}\right)}{d t}=q_{i} P_{i 3}+p_{i} Q_{i 3}+\cdots \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где ненаписанные члены будут не ниже пятой степени, а члены написанные имеют вид
\[
p_{i} q_{i}\left[\left(c_{i 1}+d_{i 1}\right) p_{1} q_{1}+\cdots+\left(c_{i m}+d_{i m}\right) p_{m} q_{m}\right] \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Мы покажем, что это выражение тождественно равно нулю.
В самом деле, из только что приведенных дифференциальных уравнений следуют тотчас же неравенства
\[
\left|\frac{d \pi_{i}}{d t}\right| \leqslant K\left(\pi_{i}+\cdots+\pi_{m}\right)^{2} \quad\left(\pi_{i}=p_{i} q_{i}\right)
\]

для $i=1, \ldots, m$, где $\pi_{1}, \ldots, \pi_{m}$, разумеется, суть неотрицательные количества $\left({ }^{17}\right)$. Эти последние неравенства дают
\[
\left|\frac{d u}{d t}\right| \leqslant m K u^{2} \quad\left(u=\sum_{j=1}^{m} \pi_{j}\right),
\]

откуда
\[
\left|u-u_{0}\right| \leqslant 4 m K u_{0}^{2}\left|t-t_{0}\right| \leqslant 4 m K T u_{0}^{2}
\]

для любого данного промежутка времени $\left|t-t_{0}\right| \leqslant T$, при условии, что $u_{0}$ достаточно мало. Это неравенство можно получить, применяя методы, указанные в $\S 2$. Следовательно, $u-u_{0}$ второго порядка относительно $u_{0}$ во всем этом интервале, и в то же время неравенства для $d \pi_{i} / d t$ показывают, что $\pi_{i}-\pi_{i}^{0}$ тоже второго порядка. Таким образом выражение
\[
q_{i} P_{i 3}+p_{i} Q_{i 3},
\]

являющееся однородным квадратичным полиномом относительно $\pi_{i}, \ldots, \pi_{m}$, отличается от своего значения в точке $t=t_{0}$ на величину третьего порядка относительно $u_{0}$, и приведенные выше дифференциальные уравнения дают:
\[
\left|\frac{d \pi_{i}}{d t}-\left(q_{i}^{0} P_{i 3}^{0}+p_{i} Q_{i 3}^{0}\right)\right| \leqslant L u_{0}^{5 / 2} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Интегрируя, получаем:
\[
\left|\pi_{i}-\pi_{i}^{0}-\left(q_{i}^{0} P_{i 3}^{0}+p_{i}^{0} Q_{i 3}^{0}\right)\left(t-t_{0}\right)\right| \leqslant L T u_{0}^{5 / 2} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

в рассматриваемом интервале.
Пусть, далее, мы имеем:
\[
p_{i}^{0}=\alpha_{i} \varepsilon, \quad q_{i}^{0}=\beta_{i} \varepsilon \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $\alpha_{1}, \beta_{1}, \ldots, \alpha_{m}, \beta_{m}$ представляют собою $m$ произвольных пар сопряженных комплексных чисел, и предположим, что $\varepsilon$ стремится к нулю. Последнее написанное неравенство, в котором $u_{0}$ нужно рассматривать как постоянное кратное $\varepsilon^{2}$, показывает, что
\[
\lim _{\varepsilon=0} \frac{\left(\pi_{i}-\pi_{i}^{0}\right)}{\varepsilon^{4}}=\alpha_{i} \beta_{i}\left[\left(c_{i 1}+d_{i 1}\right) \alpha_{1} \beta_{1}+\cdots+\left(c_{i m}+d_{i m}\right) \alpha_{m} \beta_{m}\right]\left(t-t_{0}\right),
\]

причем мы имеем равномерное приближение к пределу в рассматриваемом интервале. С другой стороны, мы можем в этом интервале изобразить $\pi_{i}$ тригонометрической суммой вышеуказанного типа с точностью до величины порядка $\varepsilon^{5}$, и, следовательно, $\left(\pi_{i}-\pi_{i}^{0}\right) / \varepsilon^{4}$ может быть изображено такой суммой с точностью до величины порядка $\varepsilon$. Таким образом левая часть написанного равенства есть предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических сумм, удовлетворяющих условию леммы, и, следовательно, она тоже должна быть тригонометрической суммой. Но это может иметь место только в том случае, если суммы $c_{i j}+d_{i j}$ обращаются в нуль при всех значениях $i$ и $j$, что и требовалось доказать.

Таким образом, выписывая члены до третьей степени включительно относительно $p_{i}, q_{i}$, мы имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d p_{i}}{d t}=-p_{i}\left[\lambda_{i}-\sum_{j=1}^{m} c_{i j} p_{j} q_{j}\right]+\cdots, \\
\frac{d q_{i}}{d t}=q_{i}\left[\lambda_{i}-\sum_{j=1}^{m} c_{i j} p_{j} q_{j}\right]+\cdots\left({ }^{18}\right) .
\end{array}
\]

Таким путем мы можем последовательно удалять из $P_{i}, Q_{i}$ члены все высшей и высшей степени, за исключением членов, являющихся произведениями соответственно $p_{i}$ или $q_{i}$ на полиномы относительно $m$ произведений $p_{j} q_{j}$. Коэффициенты в $P_{i}, Q_{i}$ при этих остающихся членах будут постоянные числа, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку.

Всякая вполне устойчивал система уравнений (1) может быть формально приведена к нормальному виду
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d \xi_{i}}{d t} & =-M_{i} \xi_{i} \\
\frac{d \eta_{i}}{d t} & =M_{i} \eta_{i}
\end{array}\right\} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

где $M_{1}, \ldots, M_{m}$ являются чисто мнимыми степенными рядами $\left({ }^{19}\right)$ относительно т переменных $\xi_{i}, \eta_{i}$, m. е.
\[
M_{i}=\lambda_{i}-\sum_{j=1}^{m} c_{i j} \xi_{j} \eta_{j}+\cdots \quad(i=1, \ldots, m),
\]

и $\xi_{i}, \eta_{i}$ суть сопряженные комплексные переменные.
Обратно, если какая-нибудь система уравнений может быть приведена к такому нормальному виду, то из рассуждений $\S 2$ следует, что такая система вполне устойчива.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru