Вариационный принцип (5) замечателен тем, что из производных $p_1^{\prime },\dots ,p_m^{\prime },q_1^{\prime },\dots ,q_m^{\prime }$ только $q_1^{\prime },\dots ,q_m^{\prime }$ содержатся под знаком интеграла, и притом, линейно, и имеют коэффициентами как раз сопряженные переменные. Преобразование координат $p_1,\dots ,q_m$ в новые ${\overline{p}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m$ дает форму, линейную относительно $p_1^{\prime },\dots ,q_m^{\prime }$, но, вообще говоря, не такого вида. Мы рассмотрим в следующем параграфе получающийся таким путем тип уравнений — так называемые пфаффовы уравнения, которые имеют некоторые преимущества перед уравнениями Гамильтона.

Общий вид «контактного преобразования», сохраняющего каноническую форму уравнений, будет:
$$p_i=\frac{\partial K}{\partial q_i},{\overline{p}}_i=-\frac{\partial K}{\partial {\overline{q}}_i}(i=1,\dots ,m)$$

где $K$ — произвольная функция от $q_1,\dots ,q_m,{\overline{q}}_1^{\prime },\dots ,{\overline{q}}_m^{\prime }$ и $t$, подчиненная только условию, что она должна действительно давать преобразование координат $p_1,\dots ,q_m$ в новые ${\overline{p}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m$ при помощи приведенных уравнений. Мы не будем объяснять здесь смысл этих на вид искусственных формул замены переменных, а перейдем прямо к доказательству того, что подобное преобразование действительно сохраняет каноническую форму уравнений. Посредством первых $m$ из этих формул мы придаем вариационной задаче следующий вид:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}[\sum _{j=1}^m\frac{\partial K}{\partial q_j}{q}_j^{\prime }-H]dt=0,$$

где независимыми переменными теперь считаются ${\overline{p}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m$.
Но для тех же переменных имеем:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}[\sum _{j=1}^m(\frac{\partial K}{\partial q_j}{q}_j^{\prime }+\frac{\partial K}{\partial {\overline{q}}_j}{\overline{q}}_j^{\prime })+\frac{\partial K}{\partial t}]dt=0,$$

так как выражение под знаком интеграла есть полная производная. Вычитая из верхней формулы нижнюю и применяя последние $m$ уравнений (7), получим:
$$\delta {\int }_{t_0}^{t_1}[\sum _{j=1}^m{\overline{p}}_j{\overline{q}}_j^{\prime }-\overline{H}]dt=0(\overline{H}=H+\frac{\partial K}{\partial t}).$$

Преобразование вида (7) с произвольной функиией $K$, действительно дающей преобразование переменных, сохраняют гамильтонову форму уравнений с главной функцией $\overline{H}=H+\partial K/\partial t$.
Подобным же образом мы можем написать
$$p_i=\frac{\partial K}{\partial q_i},{\overline{q}}_i=\frac{\partial K}{\partial p_i}(i=1,\dots ,m)$$

и получить такой же результат.
Преобразования (8) тоже сохраняют гамильтонову форму уравнений с главной функиией $\overline{H}=H+\partial K/\partial t$.

Достоин внимания тот факт, что преобразования типа (8) составляют группу. В самом деле, эти преобразования характеризуются тем,

что выражение
$$\sum _{j=1}^m(p_{j}d{q}_j+{\overline{q}}_{j}d{\overline{p}}_j)$$

есть полный дифференциал $dK$. Для второго такого преобразования от ${\overline{p}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m$ к ${\bar{\overline{p}}}_1,\dots ,{\bar{\overline{q}}}_m$ имеется второй подобный дифференциал $d\overline{K}$. Складывая, получаем:
$$\sum _{j=1}^m(p_{j}d{q}_j+{\bar{\overline{q}}}_{j}d{\bar{\overline{p}}}_j)=d(K+\overline{K}-\sum _{j=1}^m{\overline{p}}_j{\overline{q}}_j),$$

так что сложное преобразование принадлежит к тому же типу. Подобным же образом преобразование, обратное преобразованию (7), или результат нечетного числа подобных преобразований, дает преобразование того же типа, в результате четного числа преобразований типа (7) дает преобразование типа $(8{)}^1\left({}^1\right)\left({}^{10}\right)$.