1) Этот факт может быть доказан гораздо проще и строже. Легко убедиться, что предел $y$ при $t \rightarrow \infty$ равен нулю.

В самом деле, обозначая через $K$ наибольшее значение абсолютной величины функции $t$ в рассматриваемом квадрате и принимая во внимание, что $\frac{d y}{d t}=f(x, y)$, имеем:
\[
y(t)>\frac{1}{2} y\left(t_{1}\right)
\]

при
\[
0<t_{1}<t<t_{1}+\frac{y\left(t_{1}\right)}{2 K} .
\]

Отсюда в силу того, что $\frac{d x}{d t}=y$, следует, что
\[
x\left(t_{2}\right)-x\left(t_{1}\right)>\frac{\left[y\left(t_{1}\right)\right]^{2}}{4 K},
\]

где
\[
t_{2}=t_{1}+\frac{y\left(t_{1}\right)}{2 K} .
\]

Тем более мы имеем при всяком $t>0$
\[
y^{2}<4 K(\bar{x}-x),
\]

так как $x$ – возрастающая функция $t$. А так как $x$ стремится к $\bar{x}$ при $t \rightarrow \infty$, то отсюда и следует, что $y \rightarrow 0$.

Далее легко доказать, что $\bar{x}=0$. Допустив противное, мы имели бы в силу непрерывности функции $f(x, y)$ :
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{d y}{d t}=\lim _{t \rightarrow \infty} f(x, y)=f(x, 0)
eq 0,
\]

что несовместимо со стремлением $y$ к нулю.
2) Все это вовсе не столь очевидно.
3) Такие слова обычно означают у Биркгофа привлечение геометрической интуиции.
4) В полноте этого перечня есть основания сомневаться.
5) Здесь Биркгоф упускает из виду тот случай, когда никакой самой внешней замкнутой кривой нет и в то же время существуют точки, лежащие вне всяких замкнутых кривых. Этот случай осуществляется, например, при
\[
f(x, y)=x\left(y^{2}-1\right) .
\]

Кривые движения образуют здесь семейство, определяемое уравнением
\[
y^{2}=1+c e^{x^{2}} \quad(c \geqslant-1),
\]

где $c$ – параметр семейства. При этом, когда $c \geqslant 0$, равенство (1) определяет не одну, а две кривых движения, одна из которых лежит выше, другая ниже оси абсцисс. При $c=-1$ кривая вырождается в точку (начало координат). При $-1<c<0$ имеем замкнутую кривую вокруг начала координат. При $c \rightarrow 0$ эта кривая вытягивается в бесконечность в направлении оси $x$ и при $c=0$ переходит в две параллельные прямые $y= \pm 1$. Движения по ним, очевидно, двусторонне неустойчивы. Прямые эти лежат вне всех замкнутых кривых, среди которых нет никакой самой внешней.
6) Этим Биркгоф хочет лишь сказать, что на многообразии $M$ должны существовать замкнутые кривые, не сводящиеся в точку непрерывной деформацией.
7) Имеется в виду несводимость в точку посредством непрерывных деформаций, при которых деформируемый путь все время остается инвариантным относительно преобразования. – Прим. перев.
8) Имеется в виду эквивалентность относительно тех же деформаций. – Прим. перев.
9) Определение кратного периодического движения дано ниже, в §9.
10) Здесь и в дальнейшем имеет силу следующая, вовсе не очевидная теорема.

Если $f$ есть непрерывное отображение $m$-мерной гиперсферы $S^{m}$ в самое себя, получаемое из тождественного отображении посредством непрерывного изменения, то $f\left(S^{m}\right)=S^{m}$.

Простое доказательство читатель найдет, например, в XI главе книги Г.Зейферта и В. Трельфалля «Топология», ГОНТИ, 1938.
11) См. предыдущее примечание.
12) Несколько детализируя приведенную схему доказательства, нетрудно усмотреть, что ссылка на теорему Осгуда является совершенно излишней.

В самом деле, допустим, что при первом шаге длина замкнутой кривой убывает меньше чем на $\varepsilon$. Тогда каждая из геодезических дуг $P_{i} P_{i+1}$ короче прежней дуги $P_{i} P_{i+1}$ меньше, чем на $\varepsilon$, и, следовательно, длины всех геодезических дуг различаются между собою меньше, чем на $\varepsilon$. Следовательно, $Q_{2}$ будет отстоять от середины геодезической дуги $P_{2} P_{3}$ меньше, чем на $\varepsilon, Q_{3}$ – от середины дуги $P_{3} P_{4}$ меньше, чем на $2 \varepsilon$ и т. д. Вообще любое $Q_{i}$ будет отстоять от середины дуги $P_{i} P_{i+1}$ меньше, чем на $n \varepsilon$. Отсюда следует, что геодезические дуги $Q_{i-1} P_{i}$ и $P_{i} Q_{i}$ будут иметь каждая длину, большую, чем $\frac{d}{2 n}-n \varepsilon$, что при достаточно малом $\varepsilon$ больше, чем $\frac{d}{3 n}$. Следовательно, если угол между этими дугами больше $\delta$, то их сумма превосходит длину геодезической $Q_{i-1} Q_{i}$ на величину, большую некоторой положительной постоянной, зависящей только от $d, n, \delta$ и поверхности $M$. Отсюда вытекает утверждение леммы.
13) Все это по меньшей мере неточно. В действительности из общей теории линейных преобразований (см., например, М. Бохер. Введение в высшую алгебру. ГТТИ, 1933, гл. 21) следует, что в рассматриваемом случае можно так преобразовать координаты, чтобы уравнения вариации приняли один из видов:
I. $\frac{d y_{1}}{d t}=\lambda_{1} y_{1}, \frac{d y_{2}}{d t}=y_{1}+\lambda_{1} y_{2}, \frac{d y_{i}}{d t}=\lambda_{i} y_{i} \quad(i=3, \ldots, m)$,
\[
\frac{d z_{1}}{d t}=-\lambda_{1} z_{1}, \frac{d z_{2}}{d t}=z_{1}-\lambda_{1} z_{2}, \frac{d z_{i}}{d t}=-\lambda_{i} z_{i}(i=3, \ldots, m) .
\]
II. $\frac{d y_{i}}{d t}=\lambda_{i} y_{i}, \frac{d z_{i}}{d t}=-\lambda_{i} z_{i}(i=1, \ldots, m)$.
III. Для $y$ то же, что в случае I; для $z$ то же, что в случае II.
IV. Для $y$ то же, что в случае II; для $z$ то же, что в случае I.

Рассмотрим случай I, который, по-видимому, только и имеет в виду Биркгоф.

Как и в случае отсутствия кратных множителей, проблема сводится к рассмотрению определителя
\[
D=\left|\begin{array}{ccc}
y_{1}^{1}(2 \pi)-1 & \ldots & y_{1}^{2 m}(2 \pi) \\
\vdots & & \vdots \\
y_{m}^{1}(2 \pi) & \ldots & y_{m}^{2 m}(2 \pi) \\
z_{1}^{1}(2 \pi) & \ldots & z_{1}^{2 m}(2 \pi) \\
\vdots & & \vdots \\
z_{m}^{1}(2 \pi) & \ldots & z_{m}^{2 m}(2 \pi)-1
\end{array}\right|,
\]

где
\[
y_{1}^{i}, \ldots, y_{m}^{i}, z_{1}^{i}, \ldots, z_{m}^{i}
\]

есть решение уравнений вариации, удовлетворяющее начальным условиям:
\[
\begin{array}{l}
y_{j}^{i}(0)=\delta_{i j}, z_{j}^{i}(0)=0 \quad \text { при } i=1, \ldots, m ; \\
y_{j}^{i}(0)=0, \quad z_{j}^{i}(0)=\delta_{i-m, j} \text { при } i=m+1, \ldots, 2 m . \\
\end{array}
\]

В силу этих начальных условий при $i=1,2$ получаем, соответственно, решения:
\[
\begin{array}{l}
y_{1}^{1}=e^{\lambda_{1} t}, y_{2}^{1}=t e^{\lambda_{1} t}, y_{3}^{1}=\ldots=z_{m}^{1}=0 \\
y_{1}^{2}=0, \quad y_{2}^{2}=e^{\lambda_{1} t}, \quad y_{3}^{2}=\ldots=z_{m}^{2}=0 .
\end{array}
\]

Аналогичным образом при $i=m+1, m+2$ имеем:
\[
\begin{array}{c}
y_{1}^{m+1}=\ldots=y_{m}^{m+1}=0, z_{1}^{m+1}=e^{-\lambda_{1} t}, z_{2}^{m+1}=t e^{-\lambda_{1} t}, \\
z_{3}^{m+1}=\ldots=z_{m}^{m+1}=0 \\
y_{1}^{m+2}=\ldots=y_{m}^{m+2}=0, z_{1}^{m+2}=0, \quad z_{2}^{m+2}=e^{-\lambda_{1} t}, \\
z_{3}^{m+2}=\ldots=z_{m}^{m+2}=0 .
\end{array}
\]

Наконец, для остальных значений $i$ имеем:
\[
\begin{array}{l}
y_{j}^{i}=\delta_{i j} e^{\lambda_{i} t}, z_{j}^{i}=0 \quad(i=3, \ldots, m) \text {; } \\
y_{j}^{i}=0, \quad z_{j}^{i}=\delta_{i-m, j} e^{-\lambda_{i} t} \quad(i=m+3, \ldots, 2 m) \text {. } \\
\end{array}
\]

Отсюда, как и при отсутствии кратных множителей, получаем:
\[
D=\prod_{j=1}^{m}\left(e^{2 \pi \lambda_{j}}-1\right)\left(e^{-2 \pi \lambda_{j}}-1\right)
eq 0,
\]

если ни один из множителей $\lambda_{j}$ не является целым кратным $\sqrt{-1}$.
Совершенно аналогичным образом рассматриваются другие случаи.
14) В действительности так определенная функция $\varphi$ может вовсе не быть аналитической на самой поверхности $S$, так как даже ее полная производная по $t$ может терпеть разрыв при пересечении этой поверхности.
15) В действительности из сделанных предположений вытекает лишь, что $\lambda>0$ при $z
eq 0$ и что $\lambda$ – аналитическая функция. Условие положительности $\lambda$ и при $z=0$ является независимим допущением, существенным для дальнейшего (см. следующее примечание).

16) Во всем этом можно убедиться следующим образом.

Обозначим через $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ минимум и максимум функции $\lambda$ в ограниченной области $U \leqslant \mathbf{0}$. В силу условия положительности $\lambda$ (см. предыдущее примечание) имеем $0<\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}$. Предполагая, что $z$ и $z^{\prime}$ не обращаются в нуль одновременно, определим вспомогательные переменные $r_{1}, r_{2}, \varphi_{1}, \varphi_{2}$ соотношениями
\[
\sqrt{\lambda_{i}} z=r_{i} \sin \varphi_{i}, z^{\prime}=r_{i} \cos \varphi_{i}, r_{i}>0 \quad(i=1,2) .
\]

В силу дифференциального уравнения
\[
\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}+\lambda z=0
\]

имеем
\[
\frac{d \varphi_{i}}{d t}=\sqrt{\lambda_{i}} \frac{z^{\prime 2}+\lambda z^{2}}{z^{\prime 2}+\lambda_{i} z^{2}},
\]

откуда
\[
\sqrt{\lambda_{1}} \leqslant \frac{d \varphi_{1}}{d t}, \quad \frac{d \varphi_{2}}{d t} \leqslant \sqrt{\lambda_{2}} .
\]

Принимая во внимание, что координата $z$ обращается в нуль тогда и только тогда, когда $\varphi_{i}=n \pi$, заключаем отсюда, что обращение $z$ в нуль имеет место не менее, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, большего, чем $\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}$ и не более, чем однажды, в течение всякого промежутка времени, меньшего, чем $\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}}$, если только $z$ не равно нулю тождественно.
17) Соображения, предшествующие этому утверждению, содержат лишь некоторый намек на его доказательство. Само же доказательство можно вести следующим образом.

Будем рассматривать решение наших дифференциальных уравнений в зависимости от начального положения точки на секущей поверхности. Величины $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ являются в этом решении функциями от $x_{0}, y_{0}, z_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, z_{0}^{\prime}$ и $t$, причем первые пять аргументов связаны между собою уравнением энергии
\[
\frac{1}{2}\left(x_{0}^{\prime 2}+y_{0}^{\prime 2}+z_{0}^{\prime 2}\right)+U\left(x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, 0\right)=0,
\]

из которого в силу условия $z_{0}^{\prime} \geqslant 0$ величина $z_{0}^{\prime}$ определяется как однозначная непрерывная функция $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$, аналитическая при $z_{0}^{\prime}>0$. Таким образом, имеем:
\[
x=x\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right), \ldots, \quad z^{\prime}=z^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right) .
\]

Определим еще функцию $\zeta\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right)$ дифференциальным уравнением
\[
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}+\lambda(x, y, z) \zeta=0
\]
(содержащим $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ в качестве параметров) и начальными условиями
\[
\zeta_{0}=0, \zeta_{0}^{\prime}=1 .
\]

Так как $z$ удовлятворяет тому же дифференциальному уравнению и начальному условию $z=0$, то для внутренних точек ( $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ ) поверхности $S$ имеем, очевидно,
\[
\zeta=\frac{z}{z_{0}^{\prime}}
\]

Для точек границы поверхности $S$ правая часть этого равенства теряет смысл, так как и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Тем не менее, уравнение (1), принимающее вид
\[
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}+\lambda(x, y, 0) \zeta=0
\]

совместно с начальными условиями (2) продолжает и в этом случае определять функцию $\zeta$.

Из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см. главу I) следует, что функции $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \zeta$ непрерывно зависят от точки $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ поверхности $S$ и от времени $t$, причем $\frac{\partial \zeta}{\partial t}$ есть непрерывная функция тех же аргументов. При этом в силу начальных условий (2) $\zeta$, рассматриваемая при фиксированных $x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}$ как функция $t$, никогда не обращается тождественно в нуль.

Обозначим через $\tau\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ наименьший положительный корень уравнения
\[
\zeta\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, t\right)=0,
\]

удовлетворяющий условию $\frac{d \zeta}{d t}>0$. Так как рассуждение, проведенное в предыдущем примечании, применимо к нашему уравнению (1), то такой корень существует и не превосходит $\frac{2 \pi}{\sqrt{\lambda_{1}}}$. Покажем, что $\tau$ является непрерывной функцией точки секущей поверхности.

Будем рассматривать произвольную (внутреннюю или граничную) точку $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ поверхности $S$. Так как производная $\zeta$ по $t$ непрерывна в точке $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, \tau^{0}\right)$, где $\tau^{0}=\tau\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ положительна, то согласно известной теореме о неявных функциях существуют положительные числа $\varepsilon$ и $\delta$, такие, что при
\[
\max \left[\left|x_{0}^{0}-x_{0}\right|,\left|y_{0}^{0}-y_{0}\right|,\left|x_{0}^{\prime 0}-x_{0}^{\prime}\right|, \mid y_{0}^{\prime 0}-y_{0}^{\prime}\right]<\delta
\]

уравнение (4) имеет единственное решение:
\[
t=\tau_{1}\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right),
\]

удовлетворяющее условию
\[
\left|t-\tau^{0}\right|<\varepsilon,
\]

причем определяемая отсюда функция $\tau_{1}$ непрерывна. Остается показать, что в достаточно малой окрестности точки $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$ эта функция совпадает с функцией $\tau$, для чего достаточно убедиться, что уравнение (4) не имеет положительных корней, меньших $\tau_{1}$ и удовлетворяющих условию $\frac{d \zeta}{d t}>0$, когда точка $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ принадлежит этой окрестности.

Допустим вопреки этому, что такие корни могут существовать для точек $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$, сколь угодно близких к $\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)$. Тогда существует бесконечная последовательность точек $\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}\right.$ ) $(i=1,2, \ldots$ ) поверхности $S$ и бесконечная последовательность моментов времени $t^{i}(i=1,2, \ldots)$ такие, что
\[
\begin{array}{c}
\zeta\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}, t^{i}\right)=0, \\
0<t^{i}<\tau\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime}{ }^{i}, y_{0}^{\prime}\right), \\
\left(\frac{d \zeta}{d t}\right)_{\left(x_{0}^{i}, \ldots, t^{i}\right)}>0, \\
\lim _{i \rightarrow \infty}\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime}{ }^{i} y_{0}^{\prime}{ }^{i}\right)=\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)
\end{array}
\]

Так как $\tau<\tau_{0}+\varepsilon$, то в силу неравенств (6) из последовательности пятерок ( $x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime}{ }_{i}, y_{0}^{\prime}{ }^{i}, t^{i}$ ) может быть выбрана подпоследовательность, для которой $t^{i}$ сходятся к некоторому $t^{0}$. Изменим обозначения таким образом, чтобы эта новая последовательность пятерок была обозначена через $\left(x_{0}^{i}, y_{0}^{i}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}, t^{i}\right)(i=1,2, \ldots)$. Тогда будем иметь условия (5)-(8) и, кроме того,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} t^{i}=t^{0} .
\]

В силу непрерывности функций $\zeta$ и $\frac{d \zeta}{d t}$ отсюда следует, что
\[
\left.\begin{array}{c}
\zeta\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, t^{0}\right)=0, \\
\left(\frac{d \zeta}{d t}\right)_{\left(x_{0}^{0}, \ldots, t^{0}\right)} \geqslant 0 .
\end{array}\right\}
\]

Но одновременное обращение в нуль функций $\zeta$ и $\frac{d \zeta}{d t}$ невозможно, так как иначе функция $\zeta\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}, t\right)$ переменной $t$ обращалась бы тождественно в нуль в силу уравнения (1), что, как уже было отмечено, невозможно. Следовательно,
\[
\left(\frac{d \zeta}{d t}\right)_{\left(x_{0}^{0}, \ldots, t^{0}\right)}>0 .
\]

С другой стороны, согласно предыдущему примечанию условия (5) и (6) дают:
\[
\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}} \leqslant t^{i} \leqslant \tau_{1}\left(x_{i}^{0}, y_{i}^{0}, x_{0}^{\prime i}, y_{0}^{\prime i}\right)-\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}},
\]

откуда в силу непрерывности функции $\tau_{1}$
\[
\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}} \leqslant t^{0} \leqslant \tau_{1}\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)-\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_{2}}} .
\]

Но согласно определению функции $\tau_{1}$ имеем:
\[
\tau_{1}\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right)=\tau\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right) .
\]

Таким образом,
\[
0<t^{0}<\tau\left(x_{0}^{0}, y_{0}^{0}, x_{0}^{\prime 0}, y_{0}^{\prime 0}\right) .
\]

Формулы (9), (10), (11) противоречат, однако, определению функции $\tau$. Непрерывность функции $\tau$ этим доказана.
Определим теперь преобразование $T$ поверхности $S$ равенствами:
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=x\left[x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, \tau\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)\right], \\
\cdots \cdots \cdots \\
y_{1}^{\prime}=y^{\prime}\left[x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}, \tau\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)\right] .
\end{array}
\]

Так как функции $x, \ldots, y^{\prime}$ и $\tau$ непрерывны при всех рассматриваемых нами системах аргументов, то и это преобразование непрерывно внутри и на границе поверхности $S$. Кроме того, из равенства (3) и определения функции $\tau$ следует, что в любой внутренней точке $\left(x_{0}, y_{0}, x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$ поверхности $S$ эта функция есть не что иное, как промежуток времени между начальным пересечением поверхности $S$ в этой точке и ближайшим следующим пересечением. Следовательно, во внутренних точках поверхности $S$ преобразование $T$ совпадает с рассматриваемым в тексте. Этим и доказано, что последнее преобразование может быть непрерывно распространено на границу поверхности $S$.

Что продолженное таким образом преобразование $T$ одно-однозначно – очевидно, так как совершенно аналогичным образом может быть определено непрерывное обратное преобразование.