Если точка $x^0$ лежит в $R$ на расстоянии не менее $D$ от границы $R$ и $M$ есть верхняя граница функций $\left|X_i\right|$ в $R$, то существует решение $x(t)$ уравнений (1), определенное в интервале
$$|t-t_0|<\frac{D}{\sqrt{n}M}$$

и обращающееся в $x^0$ при $t=t_0$.
Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что любое решение уравнений (1), для которого $x\left(t_0\right)=x^0$, удовлетворяет $n$ уравнениям:
$$S_i\equiv x_i-x_i^0-{\int }_{t_0}^t{X}_i(x_1,\dots ,x_n)dt=0.$$

Обратно, всякая система непрерывных функций $x(t)$ в $R$ обращается в $x^0$ при $t=t_0$, а также удовлетворяет уравнениям (1), если все $S_i$ обращаются тождественно в нуль в интервале, содержащем $t=t_0$ в качестве внутренней точки. Это можно проверить непосредственным дифференцированием.

Определим теперь систему бесконечно многозначных функций $X_i^m(x_1,\dots ,x_n)$, где значениями $X_i^m(x_1,\dots ,x_n)$ служит любая система $X_i(y_1,\dots ,y_n)$ в точке $y$, координаты которой отличаются от соответственных координат точки $x$ не более, чем на $\frac{1}{m}$. Очевидно, что при этом определении мы можем в любой прямоугольной области, определяемой неравенствами
$$|x_i-a_i|⩽\frac{1}{m}(i=1,\dots ,n),$$

принять за значения $n$ составляющих $X^m$ (т. е. $X_1^m,X_2^m,\dots ,X_n^m$ ) постоянные числа, а именно: составляющие $X(a_1,\dots ,a_n)$.

Если в выражении для $S_i$ заменим $X_i$ на $X_i^m$ и $x_i$ на $x_i^m$, то получим выражение
$$S_i^m\equiv x_i^m-x_i^0-{\int }_{t_0}^t{X}_i^m(x_1^m,\dots ,x_n^m)dt.$$

Покажем, что при надлежащем выборе $x_i^m$ и $X_i^m$ эти выражения $S_i^m$ обращаются тождественно в нуль.

Примем $X^m$ равным $X(x_1^0,\dots ,x_n^0)$ в области, определяемой неравенствами
$$|x_i-x_i^0|<\frac{1}{m}(i=1,\dots ,n).$$

Тогда интегралы в написанных выше выражениях для $S_i^m$ будут линейными функциями $t$ и, следовательно, $x_i^m$ могут быть выражены формулами
$$x_i^0+X_i(x_1^0,\dots ,x_n^0)(t-t_0),$$

пока точка $x^m$ не выходит из этой области. С точки зрения геометрии можно сказать, что выражения для $x_i^m(t)$ дают параметрическое уравнение прямой, проходящей при $t=t_0$ через центр области. В частном случае, когда все функции $X_i^m$ обращаются в нуль, прямая вырождается в точку $x^0$.

В случае, если прямая выходит за пределы области при $t=t_1>t_0$ в точке $y^0$, мы можем принять эту точку за центр новой аналогичной области тех же размеров и в этой новой области определить $x_i^m$ формулой
$$y_i^0+X_i(y_i^0,\dots ,y_n^0)(t-t_1).$$

Выражения $S_i^m$ будут тогда обращаться в нуль и при $t>t_1$, пока точка $x^m$ не покинет эту вторую область в точке $z^0$ и т.д.

Таким образом, повторяя этот процесс, мы определяем $x_i^m$ и $X_i^m$, обращающие $S_i^m$ в нуль для $t>t_0$, и подобным же образом для $t<t_0$. Процесс может остановиться только в том случае, если ломаная линия, представляющая $x^m(t)$, пересечет границу $R$.

Но если мы будем считать $t$ за время, а $x_i^m$ за координаты точки $x^m$, то скорость ее, равная
$${[{\left(X_1^m\right)}^2+\dots +{\left(X_n^m\right)}^2]}^{1/2},$$

очевидно, меньше $\sqrt{n}M$. Следовательно, точка $x^m$ должна оставаться внутри $R$ по крайней мере в интервале времени
$$|t-t_0|<\frac{D}{\sqrt{n}M}.$$

Таким образом, все функции $x_i^m$ для всех значений $i$ и $m$ определены в этом интервале.

Придавая $m$ значения $1,2,3,\dots$, получим бесконечную последовательность систем функций $x_i^m(t)$, определенных в этом интервале. Все эти системы лежат в $R$ и, таким образом, ограничены в совокупности. Далее, из того, что $S_i^m=0$ для всех $i$ и $m$, следует неравенство:
$$|x_i^m(t+h)-x_i^m(t)|=\left|{\int }_t^{t+h}{X}_i^m(x_1^m,\dots ,x_n^m)dt\right|⩽Mh.$$

Применив теперь к функциям $x_i^m$ теорему, являющуюся частным случаем теоремы Асколи ${}^1\left({}^1\right)$, найдем, что существует бесконечная последовательность $m_1,m_2,\dots$ значений $m$, такая, что для каждого $i,x_i^{m_k}$ равномерно стремится к некоторой непрерывной функции ${\overline{x}}_i$.

Легко доказать, что полученные таким образом функции ${\overline{x}}_i$ удовлетворяют интегральной форме (2) наших дифференциальных уравнений. Действительно, так как $S_i^m$ равны нулю при всех $i$ и $m$, имеем
$$\begin{array}{c}{\overline{S}}_i={\overline{S}}_i-S_i^{m_k}=({\overline{x}}_i-x_i^{m_k})-\\ -{\int }_{t_0}^t[X_i({\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_n)-X_i^{m_k}(x_1^{m_k},\dots ,x_n^{m_k})]dt.\end{array}$$

При безграничном возрастании $k$ первое слагаемое правой части равномерно стремится $\kappa$ нулю, так как $x_i^{m_k}$ равномерно стремится к $x_i$. Точно так же $X_i^{m_k}(x_1^{m_k},\dots ,x_n^{m_k})$ равномерно стремится к $X_i({\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_n)$; в самом деле, при $k$ достаточно большом $X_i(x_1^{m_k},\dots ,x_n^{m_k})$ будет отличаться от $X_i({\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_n)$ на сколь угодно малую величину, так как функции $X_i$ по предположению равномерно непрерывны; $X_i(x_1^{m_k},\dots ,x_n^{m_k})$ в свою очередь будет сколь угодно мало отличаться от $X_i^{m_k}(x_1^{m_k},\dots ,x_n^{m_k})$ по определению функций $X_i^m$. Следовательно, подынтегральное выражение и вся правая часть формулы будут равномерно стремиться к нулю при возрастании $k$, откуда следует, что выражения ${\overline{S}}_i$, не зависящие от $m$, тождественно равны нулю, и, таким образом, $\overline{x}(t)$ дает требуемое решение уравнений (1).

Применяя повторно теорему существования, мы можем данное решение $x(t)$ уравнений (1) продолжить за пределы первоначального интервала его определения, если только при приближении $t$ к одному из концов этого интервала $x(t)$ не приближается к границе $R$. Отсюда следует справедливость утверждения:
${}^1$ Краткую формулировку и доказательство этой теоремы см. у W.F.Osgood, Annals of Mathematics, т. 14, cep. 2, стр. 152-153. (1) (маленькие цифры в скобках означают ссылки на примечания редакции, помещенные в конце книги).

Любое решение $x(t)$ уравнений (1) может быть распространено на интервал, имеющий один из четырех видов:
$$\begin{array}{rl}-\mathrm{\infty }& <t<+\mathrm{\infty };\\ -\mathrm{\infty }& <t<t^{\prime \prime };\\ t^{\prime }& <t<+\mathrm{\infty };\\ t^{\prime }& <t<t^{\prime \prime },\end{array}$$

где при приближении $t$ к $t^{\prime }$ или $t^{\prime \prime }$ точка $x(t)$ приближается к граниuе $R\left({}^2\right)$.