Для того, чтобы дать пример, иллюстрирующий применение теоремы Пуанкаре и ее обобщений, мы рассмотрим прежде всего специальную, но весьма типическую задачу этого рода, а именно задачу о движении бильярдного шара на ограниченном выпуклой кривой бильярдном столе. Эта система представляет очень большой интерес по следующим основаниям. Всякая лагранжева система с двумя степенями свободы изоморфна с движением материальной частицы на гладкой поверхности, равномерно вращающейся около постоянной оси и носящей на себе консервативное поле
${ }^{1}$ Cм. мою статью «An Extension of Poincaré’s Last Geometric Theorem», Acta Mathematica, vol. $47,1926\left({ }^{1}\right)$.
${ }^{2} \S 6-9$ взяты из моей статьи «On the Periodic Motions of Dynamical Systems», Acta Mathematica, vol. 48, 1927.

сил $^{1}$. В частности, если поверхность не вращается и если поле сил отсутствует, то частица будет двигаться по геодезическим линиям. Если мы теперь сплющим поверхность, сделав ее плоской областью, ограниченной выпуклой кривой $C$, то получим «проблему бильярдного шара». Но в этой проблеме формальная сторона, обычно столь устрашающая в динамике, не играет почти никакой роли, и только интересные качественные вопросы требуют рассмотрения. Если кривая $C$ – эллипс, то получается интегрируемый случай, а именно предельный случай эллипсоида, рассмотренного Якоби.

В проблеме бильярдного шара можно прийти к некоторым периодическим движениям прямым применением методов максимума минимума. Так как это представляет интерес само по себе, я укажу здесь, как это можно сделать. Результаты, полученные Морсом (см. главу $\mathrm{V}, \S 8$ ), показывают, что область применения этих методов, уже развитая до известной степени Пуанкаре, Адамаром, Уиттекером и мною, может быть еще расширена. Таким образом, легко может оказаться, что значение метода минимума-максимума в проблеме бильярдного шара типично для общего случая.

Длиннейшая хорда границы $C$ бильярдного стола, пройденная в обоих направлениях, очевидно, дает одно из простейших периодических движений. Бильярдный шар, движущийся по этой хорде, ударяется об ограничивающую стол кривую под прямым углом и откатывается обратно по этой хорде. Если мы будем непрерывно изменять эту хорду, уменьшая длину ее настолько мало, насколько это возможно, так, чтобы в конце этого преобразования ее оба конца поменялись местами, мы будем иметь промежуточное положение наименьшей длины, которое будет хордой, пересекающей $C$ в месте наименьшей его ширины. Эта хорда дает второе периодическое движение. Детальное изучение небольших возмущений обоих этих периодических движений показывает, что первое движение неустойчиво, в то время как второе может быть устойчивым или неустойчивым.

Далее, мы ищем треугольник наибольшего периметра, вписанный в $C$. Очевидно, что по крайней мере один такой треугольник существует и не имеет вырождающихся сторон длины нуль. Касательная к линии $C$, проведенная в любой вершине этого треугольника, будет, paзумеется, образовывать равные углы с обеими сторонами, сходящимися в этой вершине.
Таким путем мы получаем «гармонический треугольник», которо-
${ }^{1}$ См. мою статью «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917. Предполагается, что лагранжева главная функция является квадратичной относительно скоростей.

му будут отвечать два различных периодических движения, соответствующих двум возможным направлениям обхода.

Кроме того, если мы будем непрерывно изменять этот треугольник, не переменяя порядок его вершин и стараясь насколько возможно меньше уменьшать его периметр так, чтобы в конце этого преобразования получить тот же треугольник, но с циклически перестановленными вершинами, то мы пройдем через треугольник наименьшего периметpa, который тоже будет гармоническим и тоже будет соответствовать двум периодическим движениям.

Таким путем может быть установлено существование двух гармонических $n$-угольников, обходящих $k \leqslant n / 2$ раз кривую $C$ ( $k$ – число взаимно простое с $n$ ).

Два периодических движения, соответствующих $n$-угольнику типа максимума, будут неустойчивы, в то время как два периодических движения, соответствующих $n$-угольнику типа минимакса, могут быть устойчивыми или неустойчивыми.