Чтобы построить такой пример, рассмотрим поверхность
\[
z^{2}=1-e^{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} x \sin ^{2} \frac{1}{2} y \quad(e>1),
\]

где $x, y, z$ — прямоугольные координаты и где мы принимаем, что все точки
\[
(x+2 k \pi, y+2 l \pi) \quad(k, l=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)
\]

соответствуют одной и той же точке поверхности. Это допущение законно, так как все преобразования
\[
\bar{x}=x+2 k \pi, \quad \bar{y}=y+2 l \pi
\]

переводят поверхность в самое себя. Фундаментальной областью является квадрат плоскости $x, y$ :
\[
0 \leqslant x<2 \pi, \quad 0 \leqslant y<2 \pi .
\]

Дальнейшее рассмотрение немедленно показывает, что кривизна везде отрицательна, за исключением точек, лежащих над и под сторонами квадратов, и что поверхность имеет род 2 . Далее, здесь существует одна и только одна геодезическая линия $A B$, соединяющая заданную точку $A$ с заданной точкой $B$ и непрерывно деформируемая в заданную кривую $A B$. Таким же образом усматривается, что существует одна и только одна замкнутая геодезическая линия заданного типа.

Этот пример имеет совершенно другой характер, чем два предыдущих, так как здесь не существует периодических движений устойчивого типа. Как легко доказать, в этом случае существует не только всюду плотное множество периодических движений, но и другие типы рекуррентных движений, а также движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Здесь имеется алгоритм, дающий возможность обозреть все движения.

В этом случае кажется невозможным построить полную секущую поверхность с соответствующим точечным преобразованием $T$. Несмотря на это, природа движений известна почти в такой же степени, как в периодическом случае $\left({ }^{4}\right)$.

Три предыдущих примера были геодезического типа. Это не является, однако, действительным ограничением, так как все обычные динамические задачи могут быть формулированы как геодезические.