Главная > ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (Д.Бирктоф)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Чтобы построить такой пример, рассмотрим поверхность
\[
z^{2}=1-e^{2} \sin ^{2} \frac{1}{2} x \sin ^{2} \frac{1}{2} y \quad(e>1),
\]

где $x, y, z$ – прямоугольные координаты и где мы принимаем, что все точки
\[
(x+2 k \pi, y+2 l \pi) \quad(k, l=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)
\]

соответствуют одной и той же точке поверхности. Это допущение законно, так как все преобразования
\[
\bar{x}=x+2 k \pi, \quad \bar{y}=y+2 l \pi
\]

переводят поверхность в самое себя. Фундаментальной областью является квадрат плоскости $x, y$ :
\[
0 \leqslant x<2 \pi, \quad 0 \leqslant y<2 \pi .
\]

Дальнейшее рассмотрение немедленно показывает, что кривизна везде отрицательна, за исключением точек, лежащих над и под сторонами квадратов, и что поверхность имеет род 2 . Далее, здесь существует одна и только одна геодезическая линия $A B$, соединяющая заданную точку $A$ с заданной точкой $B$ и непрерывно деформируемая в заданную кривую $A B$. Таким же образом усматривается, что существует одна и только одна замкнутая геодезическая линия заданного типа.

Этот пример имеет совершенно другой характер, чем два предыдущих, так как здесь не существует периодических движений устойчивого типа. Как легко доказать, в этом случае существует не только всюду плотное множество периодических движений, но и другие типы рекуррентных движений, а также движения, проходящие сколь угодно близко от любого состояния, и т. д. Здесь имеется алгоритм, дающий возможность обозреть все движения.

В этом случае кажется невозможным построить полную секущую поверхность с соответствующим точечным преобразованием $T$. Несмотря на это, природа движений известна почти в такой же степени, как в периодическом случае $\left({ }^{4}\right)$.

Три предыдущих примера были геодезического типа. Это не является, однако, действительным ограничением, так как все обычные динамические задачи могут быть формулированы как геодезические.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru