1) Ср. примечание 14 к главе III.
2) Точнее говоря, если ${\lambda }_{k}eq\frac{2\pi l\sqrt{-1}}{\tau }$, где $l$ — целое число.

3) Рассуждение, приведенное Биркгофом для доказательства этого утверждения, логически неправильно. В самом деле, он исходит из предположения, что все $2m$ «множителей» различны между собой, и доказывает, что тогда среди них имеются два, равных нулю. Но отсюда следует только то, что все множители не могут быть различными.

Действительное доказательство существования равных нулю множителей содержится в непосредственно следующем тексте, где устанавливается существование нетривиального периодического решения уравнений вариации. Из факта существования такого решения существование одного, равного нулю множителя непосредственно следует согласно теореме, приведенной в примечании 1 к главе III. Второй, равный нулю множитель существует в силу общей теоремы о разбиении множителей на пары ( $\lambda ,-\lambda$ ) (см. примечание 24 к главе III).
4) Это решение не тривиально, так как случай обыкновенного равновесия исключен из рассмотрения.
5) Существование аналитического семейства периодических решений с параметром $c$ можно доказать, пользуясь вводимыми в конце этого параграфа новыми переменными и применяя изложенный в §9 метод аналитического продолжения Пуанкаре. При этом на исходное периодическое движение накладываются некоторые ограничения.
6) В действительности решение уравнений, получаемое таким образом, вообще говоря, не будет периодическим, так как в семействе периодических решений с параметром $c$ период в общем случае будет зависеть от этого параметра.

Рассмотрим, например, гамильтонову динамическую систему одной степени свободы с гамильтоновой функцией $H={(p^2+q^2)}^2$. Общее решение уравнений Гамильтона имеет здесь вид
$$p=c^{1/4}\cos [4c^{1/2}(t+k)],q=c^{1/4}\sin [4c^{1/2}(t+k)],$$

где $c$ — постоянная энергии, $k$ — другая постоянная интегрирования. Это решение при $c>0$ периодично с периодом $\frac{\pi }{2c^{1/2}}$. Дифференцирование по параметрам $k$ и $c$ дает при $k=0$ два независимых решения уравнений вариации:
$$\begin{array}{l}P=-\sin \left(4c^{1/2}t\right),P=-t\sin \left(4c^{1/2}t\right)+\frac{1}{8}{c}^{-1/2}\cos \left(4c^{1/2}t\right),\\ Q=\cos \left(4c^{1/2}t\right),Q=t\cos \left(4c^{1/2}t\right)+\frac{1}{8}{c}^{-1/2}\sin \left(4c^{1/2}t\right).\end{array}$$

Из них только первое периодично. Второго, независимого периодического решения уравнений вариации здесь не существует.

7) Существование такой системы координат Биркгоф, по-видимому, считает очевидным. В действительности же путь к ее построению длинен и кропотлив.
8) Это следует из того, что при вещественных $x_1,\dots ,x_{2m}$ значения переменных $p_j$ и $q_j$ суть сопряженные комплексные числа.
9) Более понятным образом это доказывается так. При комплексных сопряженных парах начальных значений $p_j$ и $q_j$ эти пары значений все время должны оставаться сопряженными комплексными, так как тогда начальные значения переменных $x_1,\dots ,x_{2m}$, — вещественны, и силу чего эти переменные все время вещественны. Отсюда следует, что при комплексных сопряженных парах $(p_j,q_j)$ правые части уравнений (1) главы IV будут комплексными сопряженными. Принимая во внимание порядок малости членов $L_{i,s+1}$ и $M_{i,s+1}$, заключаем отсюда, что $\partial H/\partial {\pi }_i$ есть величина, сопряженная с $-\partial H/\partial {\pi }_i$, т.е. чисто мнимая. А так как $H=0$ при ${\pi }_i=0(i=1,\dots ,m)$, то и $H$ — чисто мнимое.
10) В самом деле, с помощью методов главы III мы убеждаемся в возможности полной нормализации уравнений (1) главы IV посредством формального преобразования
$$p_i={\overline{p}}_i+F_{i,s+1}(\overline{p},\overline{q},t),q_i={\overline{q}}_i+G_{i,s+1}(\overline{p},\overline{q},t)(i=1,\dots ,m),$$

где $F_{i,s+1}$ и $G_{i,s+1}$ — формальные степенные ряды в ${\overline{p}}_1,\dots ,{\overline{q}}_m$, начинающиеся с членов порядка не ниже $s+1$, причем формальный степенной ряд для гамильтоновой функции $\overline{H}(\overline{p},\overline{q})$ будет начинаться с многочлена
$$H(\overline{p},\overline{q})=\sum _{j=1}^m{\lambda }_j{\overline{p}}_j{\overline{q}}_j+H_1(\overline{p},\overline{q})+\dots +H_{\overline{s}}(\overline{p},\overline{q}).$$

Согласно $\mathrm{\S }8$ главы III нормализованные уравнения будут иметь общее формальное решение:
$${\overline{p}}_i=p_i^0{e}^{-{\overline{\gamma }}_i(t-t_0)},{\overline{q}}_i=q_i^0{e}^{{\overline{\gamma }}_i(t-t_0)}(i=1,\dots ,m),$$

где
$${\overline{\gamma }}_i=\frac{\partial \overline{H}({\pi }_1^0,\dots ,{\pi }_m^0)}{\partial {\pi }_i^0},{\pi }_i^0={\overline{p}}_i^0{\overline{q}}_i^0.$$

Этому формальному решению соответствует формальное решение уравнений (1) главы IV вида
$$\begin{array}{rl}{p}_i& =p_i^0{e}^{-{\overline{\gamma }}_i(t-t_0)}+F_{i,s+1}(p_j^0{e}^{-{\overline{\gamma }}_j(t-t_0)},q_j^0{e}^{{\overline{\gamma }}_j(t-t_0)},t),\\ q_i& =q_i^0{e}^{{\overline{\gamma }}_i(t-t_0)}+G_{i,s+1}(p_j^0{e}^{-{\overline{\gamma }}_j(t-t_0)},q_j^0{e}^{{\overline{\gamma }}_j(t-t_0)},t).\end{array}$$

В силу (1) и (2) оно может быть представлено под видом
$$\begin{array}{rl}{p}_i& =p_i^0{e}^{-{\gamma }_i(t-t_0)}+F_{i,s+1}^{\prime }(p_j^0,q_j^0,t),\\ q_i& =q_i^0{e}^{{\gamma }_i(t-t_0)}+G_{i,s+1}^{\prime }(p_j^0,q_j^0,t),\end{array}$$

где $F_{i,s+1}^{\prime }$ и $G_{i,s+1}^{\prime }$ — формальные степенные ряды в $p^0$ и $q^0$ с зависящими от $t$ коэффициентами, не содержащие членов степени ниже $s+1$.

Возвращаясь теперь к переменным $x_1,\dots ,x_{2m}$, получаем общее формальное решение вида
$$x_i={\mathrm{\Phi }}_i(p_j^0{e}^{-{\gamma }_j(t-t_0)},q_j^0{e}^{{\gamma }_j(t-t_0)},t)+{\mathrm{\Phi }}_{i,s+1}^{\prime }(p_j^0,q_j^0,t),$$

где ${\mathrm{\Phi }}_i^{\prime }(p_j,q_j,t)$ — сходящиеся ряды, осуществляющие преобразование от $x$ к $p$ и $q;{\mathrm{\Phi }}_{i,s+1}$ — формальные ряды в $p_j^0,q_j^0$, не содержащие членов порядка ниже $s+1$ в этих переменных.
11) Перевод точен. Смысл термина «начальные значения произвольных постоянных» не ясен редакции.
12) Здесь выясняется, что термин «формальное общее решение» («General Formal Solution») не имеет у Биркгофа единого ясного смысла. В самом деле, если «формальное общее решение» $p_i=p_i^0{e}^{-{\gamma }_{i}t},q_i=q_i^0{e}^{{\gamma }_{i}t}$ нормализованных уравнений расшифровать в согласии с определением, сформулированным Биркгофом в §3 главы III, то коэффициенты формальных рядов для координат $x_i$ будут, вообще говоря, не «тригонометрическими суммами», а произведениями показательных функций $e^{{\lambda }_{i}t},e^{-{\lambda }_{i}t}$ на целье рациональные функции $t$ (сравните примечание 12 к главе III). Следовательно, термин «формальное общее решение» применяется Биркгофом в каком-то другом, не определенном им смысле.

К счастью, самая существенная часть утверждения, приведенного курсивом в $\mathrm{\S }2$ главы IV, оказывается верной. А именно, координаты $x_1,\dots ,x_m$ действительно представимы тригонометрическими суммами указанного вида с точностью до величин порядка $u_0^{s+1}$ в течение промежутка времени порядка $\frac{1}{u_0^{s+1}}$. Этот результат непосредственно следует из проведенного в $\mathrm{\S }2$ рассмотрения решений системы (1), и он совершенно независим от каких бы то ни было «формальных общих решений».
13) Здесь $d$ и $D$ — положительные постоянные.
14) Эти ряды связаны друг с другом соотношениями
$$\begin{array}{l}{P}_i^{\ast }(q_1,\dots ,q_m,p_1,\dots ,p_m)=\\ =Q_i(q_1,\dots ,q_m,p_1,\dots ,p_m)(i=1,\dots ,m),\end{array}$$

где $F^{\ast }(z_1,\dots ,z_m)$ означает степенной ряд, получаемый из ряда $F(z_1,\dots ,z_m)$ путем замены коэффициентов сопряженными комплексными величинами.
В самом деле, уравнения
$$\frac{d{p}_i}{dt}=-{\lambda }_i{p}_i+P_i,\frac{d{q}_i}{dt}={\lambda }_i{q}_i+Q_i(i=1,\dots ,m)$$

таковы, что коль скоро начальные значения всех пар ( $p_i,q_i$ ) суть сопряженные комплексные числа, то при всяком вещественном $t$ каждое $q_i$ будет сопряженным с соответствующим $p_i$. Отсюда непосредственно следует, что при $q_i=p_i^{\ast }(i=1,\dots ,m)$ имеем:
$$Q_j(p,q;t)={[P_j(p,q;t)]}^{\ast },$$

и потому
$$Q_j(p,q;t)=P_j^{\ast }(p,q;t).$$

Но справедлива следующая лемма: если аналитическая функция
$$F(p_1,\dots ,p_m,q_1,\dots ,q_m)$$

обращается в нуль, коль скоро $q_i=p_i^{\ast }(i=1,\dots ,m)$, то она тождественно равна нулю. Из этой леммы непосредственно следует на основании только что сказанного, что равенство (1) всегда соблюдается.
Сама же лемма легко доказывается с помощью преобразования
$$p_i=u_i+\sqrt{-1}{v}_i,q_i=u_i-\sqrt{-1}{v}_i(i=1,\dots ,m),$$

которое таково, что новые переменные $u,v$ вещественны, когда старые связаны соотношениями $q_i=p_i^{\ast }(i=1,\dots ,m)$.

15) Нетрудно видеть, что если в уравнении
$$P_{i2}+\sum _{j=1}^m(p_j\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial p_j}-q_j\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial q_j}){\lambda }_j-{\lambda }_i{\phi }_{i2}-\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial t}=0$$

поменять местами каждое $p_j$ с соответствующим $q_j$ и заменить коэффициенты сопряженными числами, то получится уравнение:
$$Q_{i2}+\sum _{j=1}^m(p_j\frac{\partial {\psi }_{i2}}{\partial p_j}-q_j\frac{\partial {\psi }_{i2}}{\partial q_j}){\lambda }_j+{\lambda }_i{\psi }_{i2}-\frac{\partial {\psi }_{i2}}{\partial t}=0,$$

где
$${\psi }_{i2}(p,q;t)={\phi }_{i2}^{\ast }(q,p;t).$$

Чтобы в этом убедиться, надо лишь принять во внимание отмеченную в предыдущем примечании связь между рядами $P_i$ и $Q_i$, а также чистую мнимость постоянных ${\lambda }_i$.

Отсюда следует, что формы ${\phi }_{i2}$ и ${\psi }_{i2}$, однозначно определяемые на основании этих уравнений и условий периодичности, связаны соотношением (1). Таким образом, примененное преобразование координат таково, что ${\overline{q}}_i={\overline{p}}_i^{\ast }(i=1,\dots ,m)$, коль скоро $q_i=p_i^{\ast }(i=1,\dots ,m)$, т. е. коль скоро $x_1,\dots ,x_{2m}$ вещественны.
16) И это второе преобразование оказывается таким, что новые $p_i$ и $q_i$ будут сопряженными комплексными числами при вещественных $x_1,\dots ,x_{2m}$. Доказывается это так же, как аналогичное свойство предыдущего преобразования (см. примечание 15 к этой главе).
17) См. предыдущее примечание.
18) Уравнения эти таковы, что $q_i=p_i^{\ast }(i=1,\dots ,m)$ при всяком всщсстреніом $t$, коль скоро это имест место при $t=t_0$. Отсюда следуст, что коэффициенты $c_{ij}$ чисто мнимые.
19) $M_i$ суть степенные ряды с чисто мнимыми коэффициентами, что усматривается шаг за шагом таким же образом, как, в частности, мнимость коэффициентов $c_{ij}$ (см. предыдущее примечание).
20) В самом деле, если имеем последовательность полиномов $P_i(t)$ $(i=1,2,\dots$ ) степени, не превосходящей $n$, сходящуюся в $n+1$ различных точках $t_1,\dots ,t_{n+1}$, то, полагая
$$a_j=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_i\left(t_j\right)(j=1,\dots ,n+1),$$

согласно интерполяционной формуле Лагранжа находим:
$$P_i(t)=\sum _{j=1}^{n+1}{P}_i\left(t_j\right)\frac{(t-t_1)\dots (t-t_{j-1})(t-t_{j+1})\dots (t-t_{n+1})}{(t_j-t_1)\dots (t_j-t_{j-1})(t_j-t_{j+1})\dots (t_j-t_{n+1})}$$

при $-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$, откуда
$$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{P}_i(t)=\sum _{j=1}^{n+1}{a}_j\frac{(t-t_1)\dots (t-t_{j-1})(t-t_{j+1})\dots (t-t_{n+1})}{(t_j-t_1)\dots (t_j-t_{j-1})(t_j-t_{j+1})\dots (t_j-t_{n+1})}.$$

Таким образом, предел последовательности полиномов $P_i$ в этом случае также является полиномом степени, не превосходящей $n$.
21) Согласно обычному определению система называется обратимой, если она переходит сама в себя при замене $t$ на $-t$.
22) Выражение в прямых скобках является степенным рядом в произведениях ${\xi }_j{\eta }_j$. Но из формул (9) главы IV следует, что каждое такое произведение является степенным рядом в произведениях ${\overline{\xi }}_j{\overline{\eta }}_j$ без постоянного члена. Следовательно, выражение в прямых скобках и ${\overline{U}}_i$, являются степенными рядами в ${\overline{\xi }}_j{\eta }_j(j=1,\dots ,m)$. При этом постоянный член ряда для ${\overline{U}}_i$, равен постоянному члену выражения ${\overline{f}}_i{h}_i{U}_i$, разложенного по степеням ${\overline{\xi }}_j{\overline{\eta }}_j$, а этот последний в силу равенства $f_i{h}_i=1$ совпадает с постоянным членом $U_i$, т. е. равен ${\lambda }_i$. Аналогичным образом обстоит вопрос с выражениями ${\overline{V}}_i$.
23) Здесь Биркгоф почему-то считает возможным сразу рассматривать преобразования такого специального типа вместо общих, при которых
$$\begin{array}{l}{\overline{\xi }}_i=\sum _{j=1}^m(a_{ij}{\xi }_j+b_{ij}{\eta }_j)+\dots ,\\ {\overline{\eta }}_i=\sum _{j=1}^m(c_{ij}{\xi }_j+d_{ij}{\eta }_j)+\dots \end{array}$$

При этом преобразовании мы должны иметь:
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\sum _{j=1}^m(a_{ij}{\xi }_j+b_{ij}{\eta }_j)=\sum _{j=1}^m[({\lambda }_j{a}_{ij}+\frac{d{a}_{ij}}{dt}){\xi }_j+\\ +(-{\lambda }_j{b}_{ij}+\frac{d{b}_{ij}}{dt}){\eta }_j]+\dots \equiv {\lambda }_i\sum _{j=1}^m(a_{ij}{\xi }_j+b_{ij}{\eta }_j)+\dots \end{array}$$

откуда
$$\frac{d{a}_{ij}}{dt}+({\lambda }_j-{\lambda }_i)a_{ij}=0,\frac{d{b}_{ij}}{dt}-({\lambda }_j+{\lambda }_i)b_{ij}=0$$

и, далее,
$$a_{ij}=a_{ij}^0{e}^{({\lambda }_i-{\lambda }_j)t},b_{ij}=b_{ij}^0{e}^{({\lambda }_i+{\lambda }_j)t}(i,j=1,\dots ,m).$$

Принимая во внимание, что между числами ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$ и $2\pi \sqrt{-1}/\tau$ нет линейных соотношений с целыми коэффициентами и что функции $a_{ij}(t)$ и $b_{ij}(t)$ должны быть периодическими с периодом $\tau$, заключаем отсюда, что
$$\begin{array}{l}{a}_{ii}=a_{ii}^0=\mathrm{const}(i=1,\dots ,m),\\ a_{ij}=0(i,j=1,\dots ,m;ieqj)\text{, }\\ b_{ij}=0(i,j=1,\dots ,m).\end{array}$$

Аналогичным образом усматриваем, что
$$\begin{array}{l}{c}_{ij}=0(i,j=1,\dots ,m),\\ d_{ii}=\text{ const }(i=1,\dots ,m),\\ d_{ij}=0(i,j=1,\dots ,m;ieqj).\end{array}$$
24) См. предыдущее примечание.
25) Биркгоф рассматривает здесь лишь те преобразования, при которых ${\overline{\eta }}_i={\overline{\xi }}_i^{\ast }(i=1,\dots ,n)$, коль скоро ${\eta }_i={\xi }_i^{\ast }(i=1,\dots ,m)$. Это законно, так как именно эти преобразования соответствуют вещественным преобразованиям первоначальных вещественных координат.
26) При выводе этого уравнения существенное значение имеет то, что $U_i$ и ${\overline{U}}_i$ разлагаются по степеням ${\xi }_j{\eta }_j$ и соответственно ${\overline{\xi }}_j{\overline{\eta }}_j$, в силу чего в этих разложениях отсутствуют члены, линейные в ${\xi }_j,{\eta }_j$ и ${\overline{\xi }}_j$, ${\overline{\eta }}_j$.
27) В самом деле, как мы видели выше, постоянные члены в $h_i$ и $k_i$ суть сопряженные комплексные числа.
28) См. А.М.Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения, 2 -е изд., Ленинград, 1935.