1) Ср. примечание 14 к главе III.
2) Точнее говоря, если $\lambda_{k}
eq \frac{2 \pi l \sqrt{-1}}{\tau}$, где $l$ – целое число.

3) Рассуждение, приведенное Биркгофом для доказательства этого утверждения, логически неправильно. В самом деле, он исходит из предположения, что все $2 m$ «множителей» различны между собой, и доказывает, что тогда среди них имеются два, равных нулю. Но отсюда следует только то, что все множители не могут быть различными.

Действительное доказательство существования равных нулю множителей содержится в непосредственно следующем тексте, где устанавливается существование нетривиального периодического решения уравнений вариации. Из факта существования такого решения существование одного, равного нулю множителя непосредственно следует согласно теореме, приведенной в примечании 1 к главе III. Второй, равный нулю множитель существует в силу общей теоремы о разбиении множителей на пары ( $\lambda,-\lambda$ ) (см. примечание 24 к главе III).
4) Это решение не тривиально, так как случай обыкновенного равновесия исключен из рассмотрения.
5) Существование аналитического семейства периодических решений с параметром $c$ можно доказать, пользуясь вводимыми в конце этого параграфа новыми переменными и применяя изложенный в §9 метод аналитического продолжения Пуанкаре. При этом на исходное периодическое движение накладываются некоторые ограничения.
6) В действительности решение уравнений, получаемое таким образом, вообще говоря, не будет периодическим, так как в семействе периодических решений с параметром $c$ период в общем случае будет зависеть от этого параметра.

Рассмотрим, например, гамильтонову динамическую систему одной степени свободы с гамильтоновой функцией $H=\left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}$. Общее решение уравнений Гамильтона имеет здесь вид
\[
p=c^{1 / 4} \cos \left[4 c^{1 / 2}(t+k)\right], \quad q=c^{1 / 4} \sin \left[4 c^{1 / 2}(t+k)\right],
\]

где $c$ – постоянная энергии, $k$ – другая постоянная интегрирования. Это решение при $c>0$ периодично с периодом $\frac{\pi}{2 c^{1 / 2}}$. Дифференцирование по параметрам $k$ и $c$ дает при $k=0$ два независимых решения уравнений вариации:
\[
\begin{array}{l}
P=-\sin \left(4 c^{1 / 2} t\right), \quad P=-t \sin \left(4 c^{1 / 2} t\right)+\frac{1}{8} c^{-1 / 2} \cos \left(4 c^{1 / 2} t\right), \\
Q=\cos \left(4 c^{1 / 2} t\right), \quad Q=t \cos \left(4 c^{1 / 2} t\right)+\frac{1}{8} c^{-1 / 2} \sin \left(4 c^{1 / 2} t\right) .
\end{array}
\]

Из них только первое периодично. Второго, независимого периодического решения уравнений вариации здесь не существует.

7) Существование такой системы координат Биркгоф, по-видимому, считает очевидным. В действительности же путь к ее построению длинен и кропотлив.
8) Это следует из того, что при вещественных $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ значения переменных $p_{j}$ и $q_{j}$ суть сопряженные комплексные числа.
9) Более понятным образом это доказывается так. При комплексных сопряженных парах начальных значений $p_{j}$ и $q_{j}$ эти пары значений все время должны оставаться сопряженными комплексными, так как тогда начальные значения переменных $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, – вещественны, и силу чего эти переменные все время вещественны. Отсюда следует, что при комплексных сопряженных парах $\left(p_{j}, q_{j}\right)$ правые части уравнений (1) главы IV будут комплексными сопряженными. Принимая во внимание порядок малости членов $L_{i, s+1}$ и $M_{i, s+1}$, заключаем отсюда, что $\partial H / \partial \pi_{i}$ есть величина, сопряженная с $-\partial H / \partial \pi_{i}$, т.е. чисто мнимая. А так как $H=0$ при $\pi_{i}=0(i=1, \ldots, m)$, то и $H$ – чисто мнимое.
10) В самом деле, с помощью методов главы III мы убеждаемся в возможности полной нормализации уравнений (1) главы IV посредством формального преобразования
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}+F_{i, s+1}(\bar{p}, \bar{q}, t), \quad q_{i}=\bar{q}_{i}+G_{i, s+1}(\bar{p}, \bar{q}, t) \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где $F_{i, s+1}$ и $G_{i, s+1}$ – формальные степенные ряды в $\bar{p}_{1}, \ldots, \bar{q}_{m}$, начинающиеся с членов порядка не ниже $s+1$, причем формальный степенной ряд для гамильтоновой функции $\bar{H}(\bar{p}, \bar{q})$ будет начинаться с многочлена
\[
H(\bar{p}, \bar{q})=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} \bar{p}_{j} \bar{q}_{j}+H_{1}(\bar{p}, \bar{q})+\ldots+H_{\bar{s}}(\bar{p}, \bar{q}) .
\]

Согласно $\S 8$ главы III нормализованные уравнения будут иметь общее формальное решение:
\[
\bar{p}_{i}=p_{i}^{0} e^{-\bar{\gamma}_{i}\left(t-t_{0}\right)}, \quad \bar{q}_{i}=q_{i}^{0} e^{\bar{\gamma}_{i}\left(t-t_{0}\right)} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где
\[
\bar{\gamma}_{i}=\frac{\partial \bar{H}\left(\pi_{1}^{0}, \ldots, \pi_{m}^{0}\right)}{\partial \pi_{i}^{0}}, \quad \pi_{i}^{0}=\bar{p}_{i}^{0} \bar{q}_{i}^{0} .
\]

Этому формальному решению соответствует формальное решение уравнений (1) главы IV вида
\[
\begin{aligned}
p_{i} & =p_{i}^{0} e^{-\bar{\gamma}_{i}\left(t-t_{0}\right)}+F_{i, s+1}\left(p_{j}^{0} e^{-\bar{\gamma}_{j}\left(t-t_{0}\right)}, q_{j}^{0} e^{\bar{\gamma}_{j}\left(t-t_{0}\right)}, t\right), \\
q_{i} & =q_{i}^{0} e^{\bar{\gamma}_{i}\left(t-t_{0}\right)}+G_{i, s+1}\left(p_{j}^{0} e^{-\bar{\gamma}_{j}\left(t-t_{0}\right)}, q_{j}^{0} e^{\bar{\gamma}_{j}\left(t-t_{0}\right)}, t\right) .
\end{aligned}
\]

В силу (1) и (2) оно может быть представлено под видом
\[
\begin{aligned}
p_{i} & =p_{i}^{0} e^{-\gamma_{i}\left(t-t_{0}\right)}+F_{i, s+1}^{\prime}\left(p_{j}^{0}, q_{j}^{0}, t\right), \\
q_{i} & =q_{i}^{0} e^{\gamma_{i}\left(t-t_{0}\right)}+G_{i, s+1}^{\prime}\left(p_{j}^{0}, q_{j}^{0}, t\right),
\end{aligned}
\]

где $F_{i, s+1}^{\prime}$ и $G_{i, s+1}^{\prime}$ – формальные степенные ряды в $p^{0}$ и $q^{0}$ с зависящими от $t$ коэффициентами, не содержащие членов степени ниже $s+1$.

Возвращаясь теперь к переменным $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, получаем общее формальное решение вида
\[
x_{i}=\Phi_{i}\left(p_{j}^{0} e^{-\gamma_{j}\left(t-t_{0}\right)}, q_{j}^{0} e^{\gamma_{j}\left(t-t_{0}\right)}, t\right)+\Phi_{i, s+1}^{\prime}\left(p_{j}^{0}, q_{j}^{0}, t\right),
\]

где $\Phi_{i}^{\prime}\left(p_{j}, q_{j}, t\right)$ – сходящиеся ряды, осуществляющие преобразование от $x$ к $p$ и $q ; \Phi_{i, s+1}$ – формальные ряды в $p_{j}^{0}, q_{j}^{0}$, не содержащие членов порядка ниже $s+1$ в этих переменных.
11) Перевод точен. Смысл термина «начальные значения произвольных постоянных» не ясен редакции.
12) Здесь выясняется, что термин «формальное общее решение» («General Formal Solution») не имеет у Биркгофа единого ясного смысла. В самом деле, если «формальное общее решение» $p_{i}=p_{i}^{0} e^{-\gamma_{i} t}, q_{i}=q_{i}^{0} e^{\gamma_{i} t}$ нормализованных уравнений расшифровать в согласии с определением, сформулированным Биркгофом в §3 главы III, то коэффициенты формальных рядов для координат $x_{i}$ будут, вообще говоря, не «тригонометрическими суммами», а произведениями показательных функций $e^{\lambda_{i} t}, e^{-\lambda_{i} t}$ на целье рациональные функции $t$ (сравните примечание 12 к главе III). Следовательно, термин «формальное общее решение» применяется Биркгофом в каком-то другом, не определенном им смысле.

К счастью, самая существенная часть утверждения, приведенного курсивом в $\S 2$ главы IV, оказывается верной. А именно, координаты $x_{1}, \ldots, x_{m}$ действительно представимы тригонометрическими суммами указанного вида с точностью до величин порядка $u_{0}^{s+1}$ в течение промежутка времени порядка $\frac{1}{u_{0}^{s+1}}$. Этот результат непосредственно следует из проведенного в $\S 2$ рассмотрения решений системы (1), и он совершенно независим от каких бы то ни было «формальных общих решений».
13) Здесь $d$ и $D$ – положительные постоянные.
14) Эти ряды связаны друг с другом соотношениями
\[
\begin{array}{l}
P_{i}^{*}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, p_{1}, \ldots, p_{m}\right)= \\
\quad=Q_{i}\left(q_{1}, \ldots, q_{m}, p_{1}, \ldots, p_{m}\right) \quad(i=1, \ldots, m),
\end{array}
\]

где $F^{*}\left(z_{1}, \ldots, z_{m}\right)$ означает степенной ряд, получаемый из ряда $F\left(z_{1}, \ldots, z_{m}\right)$ путем замены коэффициентов сопряженными комплексными величинами.
В самом деле, уравнения
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\lambda_{i} p_{i}+P_{i}, \frac{d q_{i}}{d t}=\lambda_{i} q_{i}+Q_{i} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

таковы, что коль скоро начальные значения всех пар ( $p_{i}, q_{i}$ ) суть сопряженные комплексные числа, то при всяком вещественном $t$ каждое $q_{i}$ будет сопряженным с соответствующим $p_{i}$. Отсюда непосредственно следует, что при $q_{i}=p_{i}^{*}(i=1, \ldots, m)$ имеем:
\[
Q_{j}(p, q ; t)=\left[P_{j}(p, q ; t)\right]^{*},
\]

и потому
\[
Q_{j}(p, q ; t)=P_{j}^{*}(p, q ; t) .
\]

Но справедлива следующая лемма: если аналитическая функция
\[
F\left(p_{1}, \ldots, p_{m}, q_{1}, \ldots, q_{m}\right)
\]

обращается в нуль, коль скоро $q_{i}=p_{i}^{*}(i=1, \ldots, m)$, то она тождественно равна нулю. Из этой леммы непосредственно следует на основании только что сказанного, что равенство (1) всегда соблюдается.
Сама же лемма легко доказывается с помощью преобразования
\[
p_{i}=u_{i}+\sqrt{-1} v_{i}, q_{i}=u_{i}-\sqrt{-1} v_{i} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

которое таково, что новые переменные $u, v$ вещественны, когда старые связаны соотношениями $q_{i}=p_{i}^{*}(i=1, \ldots, m)$.

15) Нетрудно видеть, что если в уравнении
\[
P_{i 2}+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial p_{j}}-q_{j} \frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial q_{j}}\right) \lambda_{j}-\lambda_{i} \varphi_{i 2}-\frac{\partial \varphi_{i 2}}{\partial t}=0
\]

поменять местами каждое $p_{j}$ с соответствующим $q_{j}$ и заменить коэффициенты сопряженными числами, то получится уравнение:
\[
Q_{i 2}+\sum_{j=1}^{m}\left(p_{j} \frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial p_{j}}-q_{j} \frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial q_{j}}\right) \lambda_{j}+\lambda_{i} \psi_{i 2}-\frac{\partial \psi_{i 2}}{\partial t}=0,
\]

где
\[
\psi_{i 2}(p, q ; t)=\varphi_{i 2}^{*}(q, p ; t) .
\]

Чтобы в этом убедиться, надо лишь принять во внимание отмеченную в предыдущем примечании связь между рядами $P_{i}$ и $Q_{i}$, а также чистую мнимость постоянных $\lambda_{i}$.

Отсюда следует, что формы $\varphi_{i 2}$ и $\psi_{i 2}$, однозначно определяемые на основании этих уравнений и условий периодичности, связаны соотношением (1). Таким образом, примененное преобразование координат таково, что $\bar{q}_{i}=\bar{p}_{i}^{*}(i=1, \ldots, m)$, коль скоро $q_{i}=p_{i}^{*}(i=1, \ldots, m)$, т. е. коль скоро $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ вещественны.
16) И это второе преобразование оказывается таким, что новые $p_{i}$ и $q_{i}$ будут сопряженными комплексными числами при вещественных $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$. Доказывается это так же, как аналогичное свойство предыдущего преобразования (см. примечание 15 к этой главе).
17) См. предыдущее примечание.
18) Уравнения эти таковы, что $q_{i}=p_{i}^{*}(i=1, \ldots, m)$ при всяком всщсстреніом $t$, коль скоро это имест место при $t=t_{0}$. Отсюда следуст, что коэффициенты $c_{i j}$ чисто мнимые.
19) $M_{i}$ суть степенные ряды с чисто мнимыми коэффициентами, что усматривается шаг за шагом таким же образом, как, в частности, мнимость коэффициентов $c_{i j}$ (см. предыдущее примечание).
20) В самом деле, если имеем последовательность полиномов $P_{i}(t)$ $(i=1,2, \ldots$ ) степени, не превосходящей $n$, сходящуюся в $n+1$ различных точках $t_{1}, \ldots, t_{n+1}$, то, полагая
\[
a_{j}=\lim _{i \rightarrow \infty} P_{i}\left(t_{j}\right) \quad(j=1, \ldots, n+1),
\]

согласно интерполяционной формуле Лагранжа находим:
\[
P_{i}(t)=\sum_{j=1}^{n+1} P_{i}\left(t_{j}\right) \frac{\left(t-t_{1}\right) \ldots\left(t-t_{j-1}\right)\left(t-t_{j+1}\right) \ldots\left(t-t_{n+1}\right)}{\left(t_{j}-t_{1}\right) \ldots\left(t_{j}-t_{j-1}\right)\left(t_{j}-t_{j+1}\right) \ldots\left(t_{j}-t_{n+1}\right)}
\]

при $-\infty<t<\infty$, откуда
\[
\lim _{i \rightarrow \infty} P_{i}(t)=\sum_{j=1}^{n+1} a_{j} \frac{\left(t-t_{1}\right) \ldots\left(t-t_{j-1}\right)\left(t-t_{j+1}\right) \ldots\left(t-t_{n+1}\right)}{\left(t_{j}-t_{1}\right) \ldots\left(t_{j}-t_{j-1}\right)\left(t_{j}-t_{j+1}\right) \ldots\left(t_{j}-t_{n+1}\right)} .
\]

Таким образом, предел последовательности полиномов $P_{i}$ в этом случае также является полиномом степени, не превосходящей $n$.
21) Согласно обычному определению система называется обратимой, если она переходит сама в себя при замене $t$ на $-t$.
22) Выражение в прямых скобках является степенным рядом в произведениях $\xi_{j} \eta_{j}$. Но из формул (9) главы IV следует, что каждое такое произведение является степенным рядом в произведениях $\bar{\xi}_{j} \bar{\eta}_{j}$ без постоянного члена. Следовательно, выражение в прямых скобках и $\bar{U}_{i}$, являются степенными рядами в $\bar{\xi}_{j} \eta_{j}(j=1, \ldots, m)$. При этом постоянный член ряда для $\bar{U}_{i}$, равен постоянному члену выражения $\bar{f}_{i} h_{i} U_{i}$, разложенного по степеням $\bar{\xi}_{j} \bar{\eta}_{j}$, а этот последний в силу равенства $f_{i} h_{i}=1$ совпадает с постоянным членом $U_{i}$, т. е. равен $\lambda_{i}$. Аналогичным образом обстоит вопрос с выражениями $\bar{V}_{i}$.
23) Здесь Биркгоф почему-то считает возможным сразу рассматривать преобразования такого специального типа вместо общих, при которых
\[
\begin{array}{l}
\bar{\xi}_{i}=\sum_{j=1}^{m}\left(a_{i j} \xi_{j}+b_{i j} \eta_{j}\right)+\ldots, \\
\bar{\eta}_{i}=\sum_{j=1}^{m}\left(c_{i j} \xi_{j}+d_{i j} \eta_{j}\right)+\ldots
\end{array}
\]

При этом преобразовании мы должны иметь:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \sum_{j=1}^{m}\left(a_{i j} \xi_{j}+b_{i j} \eta_{j}\right)=\sum_{j=1}^{m}\left[\left(\lambda_{j} a_{i j}+\frac{d a_{i j}}{d t}\right) \xi_{j}+\right. \\
\left.+\left(-\lambda_{j} b_{i j}+\frac{d b_{i j}}{d t}\right) \eta_{j}\right]+\ldots \equiv \lambda_{i} \sum_{j=1}^{m}\left(a_{i j} \xi_{j}+b_{i j} \eta_{j}\right)+\ldots
\end{array}
\]

откуда
\[
\frac{d a_{i j}}{d t}+\left(\lambda_{j}-\lambda_{i}\right) a_{i j}=0, \quad \frac{d b_{i j}}{d t}-\left(\lambda_{j}+\lambda_{i}\right) b_{i j}=0
\]

и, далее,
\[
a_{i j}=a_{i j}^{0} e^{\left(\lambda_{i}-\lambda_{j}\right) t}, b_{i j}=b_{i j}^{0} e^{\left(\lambda_{i}+\lambda_{j}\right) t} \quad(i, j=1, \ldots, m) .
\]

Принимая во внимание, что между числами $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ и $2 \pi \sqrt{-1} / \tau$ нет линейных соотношений с целыми коэффициентами и что функции $a_{i j}(t)$ и $b_{i j}(t)$ должны быть периодическими с периодом $\tau$, заключаем отсюда, что
\[
\begin{array}{l}
a_{i i}=a_{i i}^{0}=\mathrm{const} \quad(i=1, \ldots, m), \\
a_{i j}=0 \quad(i, j=1, \ldots, m ; i
eq j) \text {, } \\
b_{i j}=0 \quad(i, j=1, \ldots, m) . \\
\end{array}
\]

Аналогичным образом усматриваем, что
\[
\begin{array}{l}
c_{i j}=0 \quad(i, j=1, \ldots, m), \\
d_{i i}=\text { const } \quad(i=1, \ldots, m), \\
d_{i j}=0 \quad(i, j=1, \ldots, m ; i
eq j) .
\end{array}
\]
24) См. предыдущее примечание.
25) Биркгоф рассматривает здесь лишь те преобразования, при которых $\bar{\eta}_{i}=\bar{\xi}_{i}^{*}(i=1, \ldots, n)$, коль скоро $\eta_{i}=\xi_{i}^{*}(i=1, \ldots, m)$. Это законно, так как именно эти преобразования соответствуют вещественным преобразованиям первоначальных вещественных координат.
26) При выводе этого уравнения существенное значение имеет то, что $U_{i}$ и $\bar{U}_{i}$ разлагаются по степеням $\xi_{j} \eta_{j}$ и соответственно $\bar{\xi}_{j} \bar{\eta}_{j}$, в силу чего в этих разложениях отсутствуют члены, линейные в $\xi_{j}, \eta_{j}$ и $\bar{\xi}_{j}$, $\bar{\eta}_{j}$.
27) В самом деле, как мы видели выше, постоянные члены в $h_{i}$ и $k_{i}$ суть сопряженные комплексные числа.
28) См. А.М.Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения, 2 -е изд., Ленинград, 1935.