Здесь мы будем считать данными десять постоянных интегрирования, соответствующих десяти известным интегралам. Мы допустим далее, что не все три постоянные площадей равны нулю.

Многообразие состояний надо здесь рассматривать как открытое семимерное, так как координаты не ограничены. Возможность соударения всех трех тел исключена, а соударение только двух тел, как впервые показал Сундман, является устранимой особенностью.

Важный факт состоит в следующем: кривая движения этого многообразия состояний, содержащая точку, для которой все три расстояния малы, должна при возрастании или убывании времени уходить в бесконечность. В единственном, с качественной точки зрения трудном случае полная энергия недостаточна для того, чтобы бесконечно удалить все тела друг от друга. В этом случае одно и только одно тело удаляется от двух других. На этих основаниях в многообразии состояний должны существовать три течения из бесконечности в бесконечность. Можно думать, что в общем случае все точки этого «моря» приносятся одним из этих течений, чтобы потом опять в одном из них уйти в бесконечность. Только некоторые периодические, рекуррентные и асимптотические к ним движения могут быть другого типа $\left({ }^{5}\right)$.

В этих четырех примерах я упомянул лишь о некоторых из важнейших до сих пор известных свойств. Более глубокое рассмотрение дало бы нам дальнейшие результаты, касающиеся природы и распределения возможных движений.

После этих подготовительных замечаний мы можем формулировать некоторые, в настоящее время нерешенные проблемы теоретической динамики. Вначале мы говорили о связи между периодичностью и устойчивостью. Однако такая связь не имеет места, если идею периодичности не обобщить надлежащим образом.

Существуют два рода таких обобщений. Вспоминая наш первый пример, легко понять оба эти рода обобщений.

Во-первых, мы заметим, что с течением времени каждое движение приближается к периодическим по крайней мере в этом специальном примере. Если многообразие состояний замкнутое, то существует замкнутое множество $M_{1}$, к движениям которого приближаются все остальные движения. Чтобы точнее определить $M_{1}$, рассмотрим небольшую частицу $\left({ }^{6}\right)$ в $M$. Может случиться, что с течением времени эта частица никогда не вернется к ее исходному положению. Соответствующие движения называются тогда «блуждающими» $\left({ }^{7}\right)$. Множество $M_{1}$ есть как раз множество неблуждающих движений. Теперь мы можем определить движения $M_{2}$, не блуждающие относительно $M_{1}$. Таким образом, возникает счетная, вполне упорядоченная последовательность $M, M_{1}, M_{2}, \ldots$, оканчивающаяся на некотором $M_{r}=M_{r+1}$, где $r$ – порядковое число в смысле Кантора. В течение всякого движения точка почти всегда находится вблизи этого множества центральных движений $\left({ }^{7}\right)$. Если многообразие состояний двухмерно, то легко доказать, что $r \leqslant 2$. Однако при большем числе измерений $n$ я не думаю, чтобы было $r \leqslant n$.

Поэтому я формулирую следующим образом нашу первую проблему.
Проблема I. Построить динамическую задачу с трехмерным замкнутым многообразием состоянии таким образом, чтобы порядковое число $r$ центральных движений было > 3 .

Существуют другие важные проблемы, касающиеся строения центральных движений.

Второе обобщение периодических движений возникает так. Никакое периодическое движение не приближается к другому движению. Мы можем называть «рекуррентными» те движения, пути которых плотны в минимальном замкнутом множестве других движений, не содержащем никаких подмножеств того же рода. Существование таких рекуррентных движений и их квазипериодические свойства легко доказать. Основная теорема гласит, что всякое устойчивое движение равномерно часто подходит близко к таким рекуррентным движениям $\left({ }^{8}\right)$.

Существует много важных вопросов о строении рекуррентных движений. Но первый и важнейший вопрос относится к одним периодическим движениям и может быть сформулирован так.

Проблема II. В случае гамильтоновых задач (2) с двумя степенями свободы, с замкнутым многообразием состояний и с наличием хотя бы одного устойчивого периодического движения доказать всюду плотность периодических движений. (Постоянная энергия имеет здесь заданное значение.)

Если это предположение правильно, то всякое движение такой гамильтоновой системы всегда совершается вблизи периодических движений. Я не думаю, чтобы это же имело место в случае многих степеней свободы. Я предполагаю, что рекуррентные движения всюду плотны. Поэтому и формулирую третью проблему следующим образом.
Проблема III. В случае любой гамильтоновой задачи с замкнутым многообразием состояний доказать всюду плотность рекуррентных движений.

Существует еще другой вопрос, касающийся периодических движений: можно ли найти целесообразное обобщение последней теоремы Пуанкаре на более общие случаи?

Мы должны здесь сделать несколько подготовительных замечаний. В первоначальной форме этой теоремы речь идет о преобразовании $T$ двумерного кольца в самого себя. Для применения этой теоремы к какой-либо динамической проблеме необходимо было поэтому найти полную секущую поверхность $S$, ограниченную двумя периодическими кривыми движения. Но в случае многих степеней свободы такой секущей поверхности не существует, если нет замкнутого инвариантного семейства кривых движения. Однако существования такого семейства нельзя ожидать. Для возможности динамических приложений мы должны поэтому найти обобщение теоремы, относящееся лишь к преобразованию вблизи неподвижной точки. Такие преобразования всегда имеются.

Мы должны теперь определить также тип преобразований $T$, возникающих из динамических задач. Свойство сохранения площадей, характеристическое в простейшем случае, допускает обобщение, ибо, как было замечено выше, $T$ является в общем случае объемосохраняющим. Однако это свойство никоим образом не является характеристическим. Чтобы определить характеристическое свойство, рассмотрим какуюлибо геодезическую проблему. На $n$-мерной поверхности, по которой движется частица, мы можем построить ( $n-1$ )-мерную поверхность таким образом, чтобы рассматриваемая замкнутая геодезическая линия пересекала ее в некоторой точке. Может оказаться, что поблизости существует одна и только одна геодезическая линия, соединяющая точку $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)$ этой поверхности с ближайшей следующей точкой $\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$ этой же поверхности. Будем тогда рассматривать $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right.$ ) как координаты точки на обычной секущей поверхности; энергия частицы $H$, а потому и ее скорость имеют здесь заданное значение, в силу чего многообразие состояний $(2 n-1)$-мерно. При преобразовании $T$ точка $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$ секущей поверхности переходит в точку $\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}\right)$. Длина $\Omega\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$ геодезической линии, соединяющей $\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)$ с $\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)$, обладает здесь экстремальным свойством:
\[
d\left[\Omega\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right)+\Omega\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}\right)\right]=0
\]

при варьировании переменных $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}$. Эти $n-1$ уравнений определяют координаты $x_{1}^{\prime \prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}$ через $x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}$ и тем самым преобразование $T$.

Пользуясь конечным числом таких вспомогательных поверхностей можно следующим образом определить преобразование $T$ в геодезической проблеме. Существует $k$ функций
\[
\Omega_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}^{\prime}\right), \Omega_{2}\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{n-1}^{\prime \prime}\right), \ldots, \Omega_{k}\left(x_{1}^{(k-1)}, \ldots, x_{n-1}^{(k)}\right)
\]

таких, что уравнения
\[
d\left(\Omega_{1}+\cdots+\Omega_{k}\right)=0
\]

имеют место и определяют преобразование $T$. Здесь варьируются все переменные, кроме $x_{1}, \ldots, x_{n-1}$ и $x_{1}^{(k)}, \ldots, x_{n-1}^{(k)}$.

Преобразования $T$ такого рода будем называть «консервативными преобразованиями». Возникает следующая проблема.
Проблема IV. При заданном консервативном преобразовании $T$ доказать существование соответствующей гамильтоновой системы и, в частности, системы геодезического типа.

Если это предположение правильно, то действительное обобщение последней теоремы Пуанкаре должно в качестве эквивалента давать теорему о существовании других замкнутых геодезических линий вблизи данной замкнутой геодезической линии. Рассматриваемая замкнутая геодезическая линия, разумеется, должна быть здесь устойчивого типа.

Вопрос о возможном обобщении теоремы Пуанкаре мы можем теперь формулировать следующим образом.
Проблема V. Пусть $T$ – какое-либо консервативное преобразование с неподвижной точкой $P$ устойчивого типа. Определить условия, при которых вблизи $P$ существует бесконечное множество точек, неподвижных при преобразованиях $T^{m}$.

Наконец, я должен сформулировать важную и весьма трудную проблему устойчивости в ее простейшей форме.

Проблема VI. В случае двух степеней свободы доказать существование динамических систем, обладающих периодическим движением устойчивого типа, которое, однако, в действительности неустойчиво.

Все вышеприведенные проблемы касаются не специальных динамических систем, а общих. Существует много других интересных проблем, касающихся некоторых важных специальных систем. Здесь я хочу отметить лишь две такие проблемы.
Проблема VII. В общей задаче трех тел определить топологическую природу многообразия состояний.

Проблема VIII. Доказать неинтегрируемость задачи трех тел вблизи периодического движения устойчивого типа.

Следует заметить, что результаты Пуанкаре доказывают лишь невозможность некоторой равномерной интегрируемости при переменных массах. По моему мнению, вышеприведенные проблемы суть именно те, от решения которых зависит возможность значительного дальнейшего продвижения.