С точки зрения формальной динамики чрезвычайно большое значение имеет тот факт, что дифференциальные уравнения могут быть, вообще говоря, получены из требования, чтобы «вариация» некоторого определенного интеграла обращалась в нуль.

Для того, чтобы выяснить природу вариационного метода, рассмотрим аналогичную проблему, касающуюся обыкновенных maxima и minima.
Пусть нам дано $n$ уравнений с $n$ неизвестными
\[
f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0 \quad(i=1, \ldots, n),
\]

левые части которых $f_{i}$ могут быть выражены как частные производные одной и той же вещественной аналитической функции
\[
f_{i} \equiv \frac{\partial F}{\partial x_{i}} \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Тогда мы имеем частный случай системы $n$ уравнений с $n$ неизвестными, получаемый, когда мы ищем maxima и minima функции $F$, и эта система может быть записана в виде одного символического уравнения
\[
d F=0,
\]

означающего, что при значениях переменных $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}$, удовлетворяющих нашим уравнениям, функция $F$ «стационарна».

Предположим теперь, что в наших $n$ уравнениях мы заменим переменные $x_{i}$ на новые $y_{i}$, причем зависимость между $x_{i}$, и $y_{i}$ однозначная и аналитическая. Так как стационарность какого-нибудь значения функции $F$, очевидно, не зависит от того, в какой системе переменных $F$ выражена, то решения первоначальной системы уравнений могут быть выражены формулой $d F=0$ в новых переменных совершенно так же, как и в старых. Таким образом мы обладаем методом, позволяющим, вообще говоря, получать эквивалентные уравнения в новых переменных намного проще, чем путем непосредственной подстановки.

В тех случаях, когда нельзя представить данные уравнения в этой специальной форме, часто бывает возможным найти комбинации этих уравнений, которые могут быть представлены в этом виде.

Кроме того любая, не исключительная система $n$ уравнений относительно $x_{1}, \ldots, x_{n}$
\[
f_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0 \quad(i=1, \ldots, n)
\]

эквивалентна системе $2 n$ уравнений, полученных из $d F=0$, где
\[
F=\sum_{j=1}^{n} f_{j} x_{(n+j)} .
\]

Эта эквивалентность имеет место всегда при единственном условии, что определитель $\left|\partial f_{i} / \partial x_{j}\right|
eq 0$. Действительно, из получаемых $2 n$ уравнений находим, что $x_{n+1}, \ldots, x_{2 n}$ должны равняться нулю, а $x_{1}, \ldots, x_{n}$ должны удовлетворять требуемым уравнениям.

Отсюда можно заключить, что значение аналогичного вариационного метода в динамике является также в значительной мере формальным.