Нетрудно распространить вышеприведенный метод на проблему обобщенного равновесия, в которой мы исходим из уравнений вида (3). В этом случае уравнения вариации образуют систему, состоящую из $n$ обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
$$\frac{d{y}_i}{dt}={\sum _{j=1}^n\frac{\partial X_i}{\partial x_j}|}_{x=0}{y}_j(i=1,\dots ,n),$$

коэффициенты которых $\partial X_i/{\partial x_j|}_{x=0}$ суть аналитические периодические функции $t$ с периодом $\tau$. Пусть $y_{1k},\dots ,y_{nk}(k=1,\dots ,n)$ представляют собою для каждого $k$ решения этой системы, причем все эти $n$ решений линейно независимы. Тогда общее решение будет линейной комбинацией этих частных решений. При замене $t$ на $t+\tau$ уравнения вариации не изменяют. Отсюда следует, что
$$y_{ik}(t+\tau )=\sum _{l=1}^n{y}_{il}(t)c_{lk}(i,k=1,\dots ,n),$$

где $c_{lk}$ — постоянные коэффициенты. Если мы теперь определим опять $m_1,\dots ,m_n$, как корни характеристического уравнения таблицы $\Vert c_{ij}\Vert$, то мы можем, рассуждая совершенно так же, как выше, выбрать другую систему $n$ линейно независимых решений таких, что предыдущие соотношения примут для них нормальную форму:
$$y_{ik}(t+\tau )=m_k{y}_{ik}(i,k=1,\dots ,n).$$

Мы ограничиваемся, как и выше, рассмотрением общего случая, когда между числами ${\mu }_k=\lg m_k/\tau (k=1,\dots ,n)\left({}^1\right)$ и $2\pi \sqrt{-1}/\tau$ не имеется никаких соотношений вида:
$$i_1{\mu }_1+\dots +i_n{\mu }_n+i_{n+1}\frac{2\pi \sqrt{-1}}{\tau }=0,$$

где $i_1,\dots ,i_{n+1}$ — целые числа, не равные одновременно нулю. В этом случае $m_1,\dots ,m_n$ все различны между собою.

Напишем теперь функции $y_{ik}$, дающие решения уравнений вариации в виде
$$y_{ik}=e^{{\mu }_{k}t}{p}_{ik}(t)(i,k=1,\dots ,n),$$

тогда очевидно, что функции $p_{ik}$ будут периодическими с периодом $\tau$. Далее, из известной теоремы $\left({}^2\right)$ мы знаем, что определитель
$$\left|y_{ij}\right|=\left|p_{ij}\right|e^{({\mu }_1+\dots +{\mu }_n)t}$$

никогда не обращается в нуль. Следовательно, линейная замена переменных $x_1,\dots ,x_n$ на $z_1,\dots ,z_n$ по формуле
$$x_i=\sum _{j=1}^n{p}_{ij}{z}_j(i=1,\dots ,n)$$

принадлежит к группе допустимых преобразований. Уравнения вариации будут иметь решение:
$$y_i={\delta }_{ik}{e}^{{\mu }_{k}t}(i=1,\dots ,n)$$

при $k=1,\dots ,n$. Следовательно, новые уравнения должны иметь вид:
$$\frac{d{z}_i}{dt}={\mu }_i{z}_i+\dots (i=1,\dots ,n).$$

Из всего этого мы заключаем, что можно без ограничения общности писать наши уравнения в подготовленном виде:
$$\frac{d{x}_i}{dt}={\mu }_i{x}_i+F_i(x_1,\dots ,x_n,t)(i=1,\dots ,n),$$

где $F_i$ есть, разумеется, периодическая функция $t$ с периодом $\tau$. Очевидно, что если некоторые пары чисел $m_i$, суть пары сопряженных комплексных чисел, то мы можем считать, что сделанное нами преобразование переменных принадлежит к типу, который мы рассматривали.

Будем теперь продолжать так же, как в обыкновенной проблеме равновесия, и попробуем с этой целью произвести преобразование переменных, подобное тому, которое мы делали выше, с тем различием, что коэффициенты в рядах ${\phi }_i$, не должны быть непременно постоянными числами, а могут быть периодическими аналитическими функциями $t$ с периодом $\tau$. Если мы будем выбирать систему этих «функций» ${\phi }_i\left({}^3\right)$ так, чтобы привести дифференциальные уравнения к нормальному виду, как мы это делали в случае обыкновенного равновесия, то получим аналогичные уравнения, а именно:
$$\begin{array}{l}{F}_{i2}+\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial t}+\sum _{j=1}^n\frac{\partial {\phi }_{i2}}{\partial x_j}{\mu }_j{x}_j={\mu }_i{\phi }_{i2}\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\\ F_{ik}+\frac{\partial {\phi }_{ik}}{\partial t}+\sum _{j=1}^n(\frac{\partial {\phi }_{ik}}{\partial x_j}{\mu }_j{x}_j+\sum _{p+q=k+1}\frac{\partial {\phi }_{ip}}{\partial x_j}{F}_{jq})={\mu }_i{\phi }_{ik},\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\end{array}$$

Рассматривая типический член ${\phi }_{i2}$
$$c_i(t)x_1^{l_1}\dots x_n^{l_n}(l_1+\dots +l_n=2)$$

мы находим, что требуемые условия будут
$$d_i(t)+\frac{d{c}_i(t)}{dt}+[l_1{\mu }_1+\dots +(l_i-1){\mu }_i+\dots +l_n{\mu }_n]c_i=0(i=1,\dots ,n),$$

где $d_i$ — коэффициент подобного члена $F_{i2}$. Коэффициент $\lambda$ при $c_i$ в этом уравнении не равен нулю, и уравнение можно сразу решить относительно $c_i$ :
$$c_i(t)=k_i{e}^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}{\int }_0^t{d}_i(t)e^{\lambda t}dt.$$

Решение будет периодическим относительно $t$ с периодом $\tau$ в том и только в том случае, если
$$k_i(1-e^{\lambda \tau })={\int }_0^{\tau }{d}_i(t)e^{\lambda t}dt.$$

Это уравнение относительно $k_i$ можно, разумеется, решить одним и только одним способом, если только $\lambda$ не является целым кратным $2\pi \sqrt{-1}/\tau$. Но это последнее соотношение противоречило бы нашему предположению о том, что между множителями ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$ и $2\pi \sqrt{-1}/\tau$ не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами.

Отсюда мы видим, что, как и выше, при последовательном определении ${\phi }_{i2},{\phi }_{i3}$ и т. д. нам не встретится никаких затруднений, и, таким образом, мы можем привести наши уравнения к требуемой нормальной форме.
Посредством формального преобразования
$$x_i=f_i(z_1,\dots ,z_n,t)=\sum _{j=1}^n{l}_{ij}(t)z_j+\frac{1}{2}\sum _{j,k=1}^n{l}_{ijk}(t)z_j{z}_k+\dots (i=1,\dots ,n),$$

где $l_{ij}$ — аналитические и периодические функции $t$ с периодом $\tau$, причем $|l_{ij}(t)|eq0$, дифференциальные уравнения (3), имеюшие в начале координат точку обобщенного равновесия общего вида, могут быть приведены к нормальному виду
$$\frac{d{z}_i}{dt}={\mu }_i{z}_i(i=1,\dots ,n).$$

Соответствующее формальное решение уравнений (3) будет в таком случае, очевидно,
$$y_i=f_i(c_1{e}^{{\mu }_{1}t},\dots ,c_n{e}^{{\mu }_{n}t},t)(i=1,\dots ,n).$$