В качестве исходного пункта наших рассуждений мы возьмем уравнения движения, частично нормализированные вплоть до членов некоторой степени $s$ посредством надлежащего преобразования, определенного сходящимися рядами по способу, изложенному в предыдущей главе. Таким образом, уравнения будут иметь вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \pi_{i}} p_{i}+L_{i, s+1}, \\
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \pi_{i}} q_{i}+M_{i, s+1}
\end{array}\right\} \quad(i=1, \ldots, m),
\]

где для $H$ можно написать выражение
\[
H=\sum_{j=1}^{m} \lambda_{j} p_{j} q_{j}+H_{4}+\cdots+H_{\bar{s}} \quad(\bar{s}=s \text { или } s+1),
\]

в котором $H_{k}$ – однородные полиномы степени $k / 2$ относительно $m$ произведений $\pi_{i}=p_{i} q_{i}$, в то время как $L_{i, s+1}, M_{i, s+1}$ являются сходящимися степенными рядами относительно $p_{1}, \ldots, q_{m}$, которые начинаются с членов степени не ниже $s+1$ и коэффициенты которых, paзумеется, суть аналитические периодические функции от $t$ периода $\tau$. Положим
\[
u^{2}=\sum_{j=1}^{m} p_{j} q_{j}
\]

Очевидно, мы можем сказать, что $u$ определяет в известном смысле расстояние точки от положения равновесия в любой момент $t$; в самом деле, если мы выразим $u^{2}$ через первоначальные вещественные переменные $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, то получим вещественный степенной ряд относительно $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$, начинающийся с положительной определенной квадратичной формы $\left({ }^{8}\right)$, т.е.
\[
u^{2}=\sum_{j, k=1}^{2 m} a_{j k}(t) x_{j} x_{k}+\ldots
\]

для всех $t$, откуда
\[
k \sum_{j=1}^{2 m} x_{j}^{2} \leqslant u^{2} \leqslant K \sum_{j=1}^{2 m} x_{j}^{2} \quad(K>k>0)
\]

в некоторой окрестности начала координат.
Очевидно теперь, что мы можем выбрать $N$ настолько большим, что
\[
\left|L_{i, s+1}\right|, \quad\left|M_{i, s+1}\right| \leqslant N u^{s+1} \quad(i=1, \ldots, m)
\]

на достаточно малом расстоянии от начала координат.
Умножая первое из частично нормализированных уравнений (1) на $q_{i}$, а второе на $p_{i}$, и складывая, мы заключаем, что
\[
\left|\frac{d \pi_{i}}{d t}\right| \leqslant 2 N u^{s+2} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Отсюда и из определения $u$ следует неравенство
\[
\left|u \frac{d u}{d t}\right| \leqslant m N u^{s+2}
\]

или, что то же самое,
\[
-m N \leqslant \frac{1}{u^{s+1}} \frac{d u}{d t} \leqslant m N
\]

Интегрируя по $t$ в пределах от $t_{0}$ до $t$, мы получаем из последнего неравенства
\[
\left|\frac{1}{u_{0}^{s}}-\frac{1}{u^{s}}\right| \leqslant m s N\left|t-t_{0}\right| .
\]

Исследуем вопрос, в какой промежуток времени $u$ сможет превзойти $2 u_{0}$. Для соответствующего $t$ мы должны иметь
\[
\left|\frac{1}{u_{0}^{s}}-\frac{1}{2^{s} u_{0}^{s}}\right|<m s N\left|t-t_{0}\right| .
\]

Отсюда очевидно (так как $s \geqslant 1$ ), что $u$ не может превзойти $2 u_{0}$, пока
\[
\left|t-t_{0}\right| \leqslant \frac{1}{2 m s N u_{0}^{s}} .
\]

Иначе говоря, наименьший промежуток времени, который должен пройти прежде, чем начальное расстояние $u_{0}$ удвоит свою величину, будет порядка $s$ относительно $1 / u_{0}$.
В течение этого же промежутка времени мы будем иметь
\[
\left|\frac{d \pi_{i}}{d t}\right| \leqslant 2^{s+3} N u_{0}^{s+2},
\]

откуда, интегрируя, получаем:
\[
\left|\pi_{i}-\pi_{i}^{0}\right| \leqslant 2^{s+3} N u_{0}^{s+2}\left|t-t_{0}\right| \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Принимая во внимание, что $H$ и его частные производные суть полиномы, находим
\[
\left|\frac{\partial H}{\partial \pi_{i}}-\frac{\partial H^{0}}{\partial \pi_{i}}\right| \leqslant P \sum_{j=1}^{m}\left|\pi_{i}-\pi_{i}^{0}\right| \leqslant 2^{s+3} m N P u_{0}^{s+2}\left|t-t_{0}\right|
\]

для малых $\pi_{i}, \pi_{i}^{0}$. С другой стороны, из нормализированных дифференциальных уравнений имеем в этом интервале:
\[
\left|\frac{d p_{i}}{d t}+\frac{\partial H}{\partial \pi_{i}} p_{i}\right|, \quad\left|\frac{d q_{i}}{d t}-\frac{\partial H}{\partial \pi_{i}} q_{i}\right| \leqslant 2^{s+1} N u_{0}^{s+1} \quad(i=1, \ldots, m) .
\]

Комбинируя эти неравенства с предыдущей группой неравенств, получаем
\[
\left|\frac{d p_{i}}{d t}+\frac{\partial H^{0}}{\partial \pi_{i}} p_{i}\right|, \quad\left|\frac{d q_{i}}{d t}-\frac{\partial H^{0}}{\partial \pi_{i}} q_{i}\right| \leqslant 2^{s+1} N u_{0}^{s+1}+2^{s+4} m N P u_{0}^{s+3}\left|t-t_{0}\right|
\]

для $i=1, \ldots, m$. Эти неравенства по существу эквивалентны следующим:
\[
\left|\frac{d}{d t}\left(p_{i} e^{\gamma_{1} t}\right)\right|, \quad\left|\frac{d}{d t}\left(q_{i} e^{-\gamma_{1} t}\right)\right| \leqslant 2^{s+1} N u_{0}^{s+1}+2^{s+4} m N P u_{0}^{s+3}\left|t-t_{0}\right|,
\]

где $\gamma_{i}=\partial H^{0} / \partial \pi_{i}$ суть чисто мнимые количества. В том обстоятельстве, что $H$ и его частные производные по $\pi_{i}$ – чисто мнимые количества, легко убедиться следующим образом: если мы поменяем местами в уравнениях (1) $p_{i}, q_{i}(i=1, \ldots, m)$ и заменим $H$ сопряженным с ним выражением, то эти уравнения перейдут сами в себя. Но это значит, что выражение, сопряженное с $H$, совпадает с $-H$, т.е. что $H$ есть чисто мнимая функция $\left({ }^{9}\right)$. Интегрируя предыдущие неравенства, получаем
\[
\begin{array}{l}
\left|p_{i}-p_{i}^{0} e^{-\gamma_{i}\left(t-t_{0}\right)}\right| \\
\left|q_{i}-q_{i}^{0} e^{\gamma_{i}\left(t-t_{0}\right)}\right| \leqslant 2^{s+1} N u_{0}^{s+1}\left|t-t_{0}\right|+2^{s+3} m N P u_{0}^{s+3}\left|t-t_{0}\right|^{2}
\end{array}
\]

для $i=1, \ldots, m$.
Если мы теперь вернемся к сходящимся степенным рядам, выражающим $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ через величины $p_{1}, \ldots, q_{m}$, и если мы заменим в этих рядах $p_{1}, \ldots, q_{m}$ на
\[
p_{1}^{0} e^{-\gamma_{1}\left(t-t_{0}\right)}, \ldots, \quad q_{m}^{0} e^{\gamma_{m}\left(t-t_{0}\right)}
\]

соответственно, то полученные ряды совпадут с формальными рядами, дающими решение вплоть до членов степени ( $s+1$ ) относительно $2 m$ произвольных постоянных $p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}\left({ }^{10}\right)$. Но совершаемая при этом ошибка будет порядка разностей, составляющих левую часть неравенства (4). Следовательно, если мы выразим $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ посредством формальных рядов, являющихся решениями, полученными из нормального вида оборванных на членах порядка $s$ относительно $2 m$ произвольных постоянных $p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$, то в течение промежутка времени (2) совершённая ошибка не будет превосходить по абсолютной величине выражение
\[
A u_{0}^{s+1}+B u_{0}^{s+1}\left|t-t_{0}\right|+C u_{0}^{s+3}\left|t-t_{0}\right|^{2},
\]

где $A, B, C$ – некоторые положительные константы.
Благодаря тому, что в этих неравенствах $s$ – произвольное целое положительное число, можно придать им еще более простой вид. Ограничим $\left|t-t_{0}\right|$ еще строже, чем в формуле (2), а именно: пусть он будет порядка не более $(s / 3)+1$ относительно обратного расстояния $1 / u_{0}$. Тогда слагаемые вышеприведенной суммы будут, очевидно, порядка $s / 3$ относительно самого расстояния $u_{0}$. Следовательно, если мы отбросим в формальных рядах решения все члены степени выше $s / 3$,то порядок ошибки будет выше $s / 3$. Но $s / 3$ произвольно, откуда мы выводим следующее заключение:

Если формальные ряды решения проблемы обобщенного равновесия устойчивого типа для уравнений Пфаффа оборвать на членах произвольного порядка в относительно начальных значений $p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$ произвольных постоянных $\left({ }^{11}\right)$, то полученные таким образом $2 m$ тригонометрических сумм $\left({ }^{12}\right.$ ) будут иметь коэффициенты не выше чем первого порядка относительно $u_{0}$ и будут выражать координаты $x_{1}, \ldots, x_{2 m} c$ ошибкой порядка не выше $u_{0}^{s+1}$ в течение промежутка времени порядка не ниже $1 / u_{0}^{s+1}$. Здесь $u_{0}$ выражает расстояние до начала координат в пространстве $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ при $t=t_{0}$.

Написанные в явном виде эти тригонометрические суммы для $x_{1}, \ldots, x_{2 m}$ имеют вид вещественных выражений:
\[
A_{0}+\sum_{j}\left(A_{j} \cos l_{j} t+B_{j} \sin l_{j} t\right)
\]

где
\[
l_{i} \sqrt{-1}=i_{1} \frac{\partial H^{0}}{\partial \pi_{1}}+\cdots+i_{m} \frac{\partial H^{0}}{\partial \pi_{m}}, \quad d=\sum_{j=1}^{m}\left|i_{j}\right| \leqslant s,
\]

причем $i_{1}, \ldots, i_{m}$ – целые числа, а $A_{i}, B_{i}$ – полиномы относительно $p_{1}^{0}, \ldots, q_{m}^{0}$, все члены которых имеют степень не ниже $d$ и не выше $s$.